Номер 1.104, страница 38 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.104. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна 6 м, апофема — 5 м. Найдите:

1) высоту пирамиды;

2) двугранный угол при основании;

3) боковое ребро;

4) угол между боковым ребром и плоскостью основания;

5) плоский угол при вершине.

1) высоту пирамиды

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD с вершиной S. Основание ABCD — квадрат со стороной $a = 6$ м. Апофема (высота боковой грани) $l = SK = 5$ м, где K — середина стороны основания CD. Высота пирамиды — это отрезок SO, где O — центр основания.

Рассмотрим прямоугольный треугольник SOK. В нем катет OK — это расстояние от центра квадрата до середины его стороны, он равен половине стороны основания: $OK = a / 2 = 6 / 2 = 3$ м. Апофема SK является гипотенузой этого треугольника, а высота SO — вторым катетом.

По теореме Пифагора: $SO^2 + OK^2 = SK^2$.

Выразим высоту $SO$ (обозначим ее $h$):

$h^2 + 3^2 = 5^2$

$h^2 + 9 = 25$

$h^2 = 25 - 9 = 16$

$h = \sqrt{16} = 4$ м.

Ответ: 4 м.

2) двугранный угол при основании

Двугранный угол при основании — это угол между плоскостью боковой грани (например, SCD) и плоскостью основания (ABCD). Мерой этого угла является линейный угол $\angle SKO$ в прямоугольном треугольнике SOK, так как $SO \perp OK$ и $SK \perp CD$. Обозначим этот угол как $\alpha$.

Мы знаем все стороны треугольника SOK: катет $SO = 4$ м, катет $OK = 3$ м и гипотенуза $SK = 5$ м.

Найдем косинус угла $\alpha$:

$\cos(\alpha) = \frac{OK}{SK} = \frac{3}{5}$.

Следовательно, $\alpha = \arccos(3/5)$.

Ответ: $\arccos(3/5)$.

3) боковое ребро

Боковое ребро, например SC, можно найти из прямоугольного треугольника SKC. В нем SK — апофема, $SK = 5$ м. Катет KC — это половина стороны основания, $KC = CD / 2 = 6 / 2 = 3$ м. Боковое ребро SC является гипотенузой.

По теореме Пифагора: $SC^2 = SK^2 + KC^2$.

$SC^2 = 5^2 + 3^2 = 25 + 9 = 34$.

$SC = \sqrt{34}$ м.

Ответ: $\sqrt{34}$ м.

4) угол между боковым ребром и плоскостью основания

Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это угол между ребром (например, SC) и его проекцией на плоскость основания (отрезком OC). Этот угол — $\angle SCO$ в прямоугольном треугольнике SOC. Обозначим его $\beta$.

Катет SO — это высота пирамиды, $SO = 4$ м. Катет OC — это половина диагонали квадрата ABCD. Диагональ квадрата $AC = a\sqrt{2} = 6\sqrt{2}$ м. Тогда $OC = \frac{1}{2} AC = 3\sqrt{2}$ м.

Найдем тангенс угла $\beta$:

$\tan(\beta) = \frac{\text{противолежащий катет}}{\text{прилежащий катет}} = \frac{SO}{OC} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{3 \cdot 2} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Следовательно, $\beta = \arctan(\frac{2\sqrt{2}}{3})$.

Ответ: $\arctan(\frac{2\sqrt{2}}{3})$.

5) плоский угол при вершине

Плоский угол при вершине — это угол в боковой грани при вершине пирамиды, например, $\angle CSD$ в равнобедренном треугольнике SCD. Обозначим его $\gamma$.

Боковые стороны этого треугольника — это боковые ребра пирамиды $SC = SD = \sqrt{34}$ м, а основание — сторона основания пирамиды $CD = 6$ м.

Применим теорему косинусов для треугольника SCD:

$CD^2 = SC^2 + SD^2 - 2 \cdot SC \cdot SD \cdot \cos(\gamma)$.

$6^2 = (\sqrt{34})^2 + (\sqrt{34})^2 - 2 \cdot \sqrt{34} \cdot \sqrt{34} \cdot \cos(\gamma)$.

$36 = 34 + 34 - 2 \cdot 34 \cdot \cos(\gamma)$.

$36 = 68 - 68 \cdot \cos(\gamma)$.

$68 \cdot \cos(\gamma) = 68 - 36 = 32$.

$\cos(\gamma) = \frac{32}{68} = \frac{8}{17}$.

Следовательно, $\gamma = \arccos(8/17)$.

Ответ: $\arccos(8/17)$.