Номер 1.105, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.105. Основанием четырехугольной пирамиды является равнобокая трапеция, а центр описанной около нее окружности расположен на большом основании трапеции. Все боковые ребра пирамиды равны между собой. Постройте эту пирамиду. Определите основание высоты пирамиды.

Построение пирамиды

1. Начнем с построения основания. В плоскости начертим окружность с центром в точке $O$.

2. Проведем диаметр этой окружности и обозначим его $AD$. Этот отрезок будет большим основанием трапеции. Точка $O$ является серединой $AD$.

3. Проведем хорду $BC$, параллельную диаметру $AD$. Поскольку хорда $BC$ параллельна диаметру, ось симметрии окружности, перпендикулярная $AD$, будет также перпендикулярна $BC$ и проходить через середины обеих хорд. Это гарантирует, что дуги $AB$ и $CD$ равны, а следовательно, равны и стягивающие их хорды $AB$ и $CD$. Таким образом, четырехугольник $ABCD$ является равнобокой трапецией, вписанной в окружность. Центр этой окружности, точка $O$, по построению лежит на большем основании $AD$.

4. Теперь построим саму пирамиду. Известно, что если все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр описанной около основания окружности. В нашем случае это точка $O$. Восстановим из точки $O$ перпендикуляр $SO$ к плоскости трапеции. Точка $S$ будет вершиной пирамиды.

5. Соединим вершину $S$ с вершинами основания $A$, $B$, $C$ и $D$.

Пирамида $SABCD$ построена.

Определение основания высоты пирамиды

Пусть $S$ — вершина пирамиды, а $H$ — основание ее высоты, опущенной на плоскость основания $ABCD$. Тогда $SH$ — высота пирамиды, и $SH \perp (ABC)$.

По условию все боковые ребра пирамиды равны: $SA = SB = SC = SD$.

Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle SHA$, $\triangle SHB$, $\triangle SHC$ и $\triangle SHD$. У всех этих треугольников катет $SH$ является общим, а их гипотенузы равны по условию. По теореме Пифагора, квадраты других катетов также должны быть равны:

$HA^2 = SA^2 - SH^2$

$HB^2 = SB^2 - SH^2$

$HC^2 = SC^2 - SH^2$

$HD^2 = SD^2 - SH^2$

Из этого следует, что $HA = HB = HC = HD$.

Равенство расстояний от точки $H$ до всех вершин основания $A, B, C, D$ означает, что $H$ является центром окружности, описанной около основания.

В условии задачи сказано, что центр описанной около трапеции окружности расположен на ее большом основании. Пусть $AD$ — большое основание. Значит, точка $H$ лежит на отрезке $AD$.

Поскольку $H$ — центр окружности, а точки $A$ и $D$ лежат на этой окружности и одновременно на прямой, проходящей через центр, то отрезок $AD$ является диаметром этой окружности. Центр диаметра — это его середина.

Следовательно, основание высоты пирамиды $H$ совпадает с центром описанной окружности $O$ и является серединой большего основания трапеции.

Ответ: основание высоты пирамиды — это середина большего основания трапеции.