Номер 1.107, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.107. Основание пирамиды есть параллелограмм со сторонами 3 см и 7 см, а одна из его диагоналей равна 6 см. Высота пирамиды, равная 4 см, проходит через точку пересечения диагоналей основания. Найдите:

1) боковые ребра;

2) площадь полной поверхности.

1) боковые ребра

Пусть основанием пирамиды $SABCD$ является параллелограмм $ABCD$, где стороны $a=3 \text{ см}$ и $b=7 \text{ см}$. Пусть $AB = CD = 3 \text{ см}$, а $AD = BC = 7 \text{ см}$. Одна из диагоналей равна $d_1 = 6 \text{ см}$, пусть это будет диагональ $AC$. Высота пирамиды $SO = H = 4 \text{ см}$ проходит через точку $O$ пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Для нахождения второй диагонали параллелограмма $BD$ воспользуемся свойством, связывающим стороны и диагонали параллелограмма: $d_1^2 + d_2^2 = 2(a^2 + b^2)$.

$AC^2 + BD^2 = 2(AB^2 + BC^2)$

$6^2 + BD^2 = 2(3^2 + 7^2)$

$36 + BD^2 = 2(9 + 49) = 2 \cdot 58 = 116$

$BD^2 = 116 - 36 = 80$

$BD = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5} \text{ см}.$

Поскольку диагонали в точке пересечения делятся пополам, мы можем найти длины отрезков от вершин основания до проекции вершины пирамиды:

$AO = OC = \frac{AC}{2} = \frac{6}{2} = 3 \text{ см}.$

$BO = OD = \frac{BD}{2} = \frac{4\sqrt{5}}{2} = 2\sqrt{5} \text{ см}.$

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания. Следовательно, боковые ребра $SA, SB, SC, SD$ можно найти как гипотенузы прямоугольных треугольников $\triangle SOA, \triangle SOB, \triangle SOC, \triangle SOD$ по теореме Пифагора:

$SA = \sqrt{SO^2 + AO^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.

$SC = \sqrt{SO^2 + OC^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{25} = 5 \text{ см}.

$SB = \sqrt{SO^2 + BO^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{16 + 20} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}.

$SD = \sqrt{SO^2 + OD^2} = \sqrt{4^2 + (2\sqrt{5})^2} = \sqrt{36} = 6 \text{ см}.

Ответ: два боковых ребра имеют длину 5 см, а два других — 6 см.

2) площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{\text{полн}}$ вычисляется по формуле $S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}}$, где $S_{\text{осн}}$ — площадь основания, а $S_{\text{бок}}$ — площадь боковой поверхности.

Сначала найдем площадь основания $S_{\text{осн}}$. Площадь параллелограмма $ABCD$ равна удвоенной площади треугольника $ABC$. Найдем площадь $\triangle ABC$ со сторонами $AB=3 \text{ см}$, $BC=7 \text{ см}$ и $AC=6 \text{ см}$, используя формулу Герона.

Полупериметр треугольника $p_{\triangle ABC} = \frac{3 + 7 + 6}{2} = 8 \text{ см}$.

Площадь $S_{\triangle ABC} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{8(8-3)(8-7)(8-6)} = \sqrt{8 \cdot 5 \cdot 1 \cdot 2} = \sqrt{80} = 4\sqrt{5} \text{ см}^2$.

Площадь основания $S_{\text{осн}} = 2 \cdot S_{\triangle ABC} = 2 \cdot 4\sqrt{5} = 8\sqrt{5} \text{ см}^2$.

Далее найдем площадь боковой поверхности $S_{\text{бок}}$. Она состоит из двух пар равных треугольников: $\triangle SAB \cong \triangle SCD$ и $\triangle SBC \cong \triangle SDA$. Их равенство следует из равенства трёх сторон (признак SSS), так как $AB = CD = 3$, $BC = AD = 7$, и, как мы нашли в пункте 1, $SA = SC = 5$ и $SB = SD = 6$. Таким образом, $S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC}$.

Вычислим площадь $\triangle SAB$ со сторонами $SA=5$, $SB=6$, $AB=3$ по формуле Герона.

Полупериметр $p_{\triangle SAB} = \frac{5 + 6 + 3}{2} = 7 \text{ см}$.

$S_{\triangle SAB} = \sqrt{7(7-5)(7-6)(7-3)} = \sqrt{7 \cdot 2 \cdot 1 \cdot 4} = \sqrt{56} = 2\sqrt{14} \text{ см}^2$.

Вычислим площадь $\triangle SBC$ со сторонами $SC=5$, $SB=6$, $BC=7$ по формуле Герона.

Полупериметр $p_{\triangle SBC} = \frac{5 + 6 + 7}{2} = 9 \text{ см}$.

$S_{\triangle SBC} = \sqrt{9(9-5)(9-6)(9-7)} = \sqrt{9 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2} = \sqrt{216} = 6\sqrt{6} \text{ см}^2$.

Площадь боковой поверхности: $S_{\text{бок}} = 2 \cdot S_{\triangle SAB} + 2 \cdot S_{\triangle SBC} = 2 \cdot 2\sqrt{14} + 2 \cdot 6\sqrt{6} = (4\sqrt{14} + 12\sqrt{6}) \text{ см}^2$.

Теперь можем найти площадь полной поверхности:

$S_{\text{полн}} = S_{\text{осн}} + S_{\text{бок}} = 8\sqrt{5} + 4\sqrt{14} + 12\sqrt{6} \text{ см}^2$.

Ответ: площадь полной поверхности равна $(8\sqrt{5} + 12\sqrt{6} + 4\sqrt{14}) \text{ см}^2$.