Номер 1.113, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.113*. Основания треугольной усеченной пирамиды, боковые ребра которой равны между собой, являются прямоугольными треугольниками. Докажите, что грань, проходящая через гипотенузы оснований, перпендикулярна плоскости основания.

Пусть дана усеченная треугольная пирамида $ABCA_1B_1C_1$, где $\triangle ABC$ – нижнее основание, а $\triangle A_1B_1C_1$ – верхнее основание. Плоскости оснований параллельны: $(ABC) \parallel (A_1B_1C_1)$.

По условию, основания являются прямоугольными треугольниками. Пусть $\angle C = 90^\circ$ и, следовательно, $\angle C_1 = 90^\circ$. Тогда $AB$ и $A_1B_1$ – гипотенузы оснований.

Также по условию, боковые ребра усеченной пирамиды равны: $AA_1 = BB_1 = CC_1$.

Требуется доказать, что плоскость грани, проходящей через гипотенузы ($ABB_1A_1$), перпендикулярна плоскости основания (например, $(ABC)$).

Достроим усеченную пирамиду до полной пирамиды $SABC$ с вершиной $S$, которая является точкой пересечения прямых, содержащих боковые ребра: $S = AA_1 \cap BB_1 \cap CC_1$.

Так как плоскость $(A_1B_1C_1)$ параллельна плоскости $(ABC)$, то из подобия следует, что $\frac{SA_1}{SA} = \frac{SB_1}{SB} = \frac{SC_1}{SC} = k$, где $k$ – коэффициент подобия. Длины боковых ребер усеченной пирамиды выражаются через длины ребер полной пирамиды: $AA_1 = SA - SA_1 = SA(1 - k)$, $BB_1 = SB - SB_1 = SB(1 - k)$, $CC_1 = SC - SC_1 = SC(1 - k)$. Поскольку $AA_1 = BB_1 = CC_1$, из этого следует, что $SA = SB = SC$.

Если все боковые ребра пирамиды равны, то ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Пусть точка $O$ – проекция вершины $S$ на плоскость $(ABC)$. Тогда $SO$ – высота пирамиды $SABC$, и $SO \perp (ABC)$. Из равенства прямоугольных треугольников $\triangle SOA$, $\triangle SOB$, $\triangle SOC$ (по катету $SO$ и гипотенузам $SA=SB=SC$) следует, что $OA = OB = OC$. Таким образом, $O$ – центр описанной окружности треугольника $ABC$.

Так как $\triangle ABC$ – прямоугольный с прямым углом при вершине $C$, центр описанной около него окружности находится в середине его гипотенузы. Следовательно, точка $O$ является серединой гипотенузы $AB$.

Пусть $O_1$ – середина гипотенузы $A_1B_1$ верхнего основания. Аналогично, $O_1$ является центром окружности, описанной около $\triangle A_1B_1C_1$. Прямая $SO$ является осью полной пирамиды, и она проходит через точку $O_1$. Отрезок $OO_1$ соединяет центры оснований усеченной пирамиды и является ее высотой. Следовательно, $OO_1 \perp (ABC)$.

Рассмотрим грань $ABB_1A_1$. Эта грань представляет собой плоскость, проходящую через гипотенузы $AB$ и $A_1B_1$. Поскольку $O$ – середина $AB$, точка $O$ лежит на отрезке $AB$, а значит, и в плоскости $(ABB_1A_1)$. Поскольку $O_1$ – середина $A_1B_1$, точка $O_1$ лежит на отрезке $A_1B_1$, а значит, и в плоскости $(ABB_1A_1)$. Так как точки $O$ и $O_1$ принадлежат плоскости $(ABB_1A_1)$, то и вся прямая $OO_1$ лежит в этой плоскости.

Мы установили, что прямая $OO_1$ лежит в плоскости $(ABB_1A_1)$ и перпендикулярна плоскости $(ABC)$. Согласно признаку перпендикулярности двух плоскостей, если одна плоскость проходит через прямую, перпендикулярную другой плоскости, то эти плоскости перпендикулярны.

Следовательно, плоскость грани $ABB_1A_1$ перпендикулярна плоскости основания $ABC$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.