Номер 1.115, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.115. Основанием пирамиды является квадрат. Боковое ребро, равное стороне основания, перпендикулярно плоскости основания пирамиды. Самое большое боковое ребро равно 12 см. Найдите высоту пирамиды.

Пусть дана пирамида $SABCD$, где $ABCD$ — квадрат в основании, а $S$ — вершина пирамиды. Обозначим сторону квадрата $a$, то есть $AB = BC = CD = DA = a$.

По условию, одно из боковых ребер перпендикулярно плоскости основания. Пусть это ребро $SA$. Тогда $SA$ является высотой пирамиды. Обозначим высоту как $h$, следовательно, $h = SA$.

Также по условию это боковое ребро равно стороне основания, то есть $SA = a$. Таким образом, $h = a$.

Задача состоит в том, чтобы найти высоту $h$. Для этого нам нужно найти значение $a$.

Найдем длины всех боковых ребер пирамиды, чтобы определить, какое из них самое большое. Ребра исходят из вершины $S$ к вершинам основания $A, B, C, D$.

1. Длина ребра $SA$ нам известна: $SA = a$.

2. Для нахождения длины ребра $SB$ рассмотрим прямоугольный треугольник $SAB$ (угол $A$ прямой, так как $SA$ перпендикулярно всей плоскости основания, а значит, и любой прямой в этой плоскости, в том числе $AB$). По теореме Пифагора:

$SB^2 = SA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$SB = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

3. Аналогично для ребра $SD$ рассмотрим прямоугольный треугольник $SAD$ (угол $A$ прямой):

$SD^2 = SA^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$SD = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

4. Для нахождения длины ребра $SC$ рассмотрим прямоугольный треугольник $SAC$ (угол $A$ прямой). Катет $AC$ является диагональю квадрата $ABCD$. Найдем длину диагонали $AC$ из прямоугольного треугольника $ABC$ (угол $B$ прямой):

$AC^2 = AB^2 + BC^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

$AC = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Теперь по теореме Пифагора для треугольника $SAC$:

$SC^2 = SA^2 + AC^2 = a^2 + (a\sqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

$SC = \sqrt{3a^2} = a\sqrt{3}$

Сравним длины всех боковых ребер: $SA = a$, $SB = a\sqrt{2}$, $SD = a\sqrt{2}$, $SC = a\sqrt{3}$.

Так как $1 < \sqrt{2} < \sqrt{3}$, то самым большим боковым ребром является $SC$.

По условию задачи, длина самого большого бокового ребра равна 12 см. Следовательно, $SC = 12$ см.

Составим уравнение:

$a\sqrt{3} = 12$

Выразим $a$:

$a = \frac{12}{\sqrt{3}}$

Избавимся от иррациональности в знаменателе:

$a = \frac{12 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{12\sqrt{3}}{3} = 4\sqrt{3}$ см.

Высота пирамиды $h$ равна $SA$, а $SA = a$. Значит, высота пирамиды равна $4\sqrt{3}$ см.

Ответ: $4\sqrt{3}$ см.