Номер 1.116, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.116. Стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды равны 4 и 2. Найдите высоту и апофему усеченной пирамиды, если ее боковое ребро равно 2.

Нахождение высоты

Пусть $a_1=4$ и $a_2=2$ – стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды, а $l=2$ – ее боковое ребро. Высоту пирамиды $H$ можно найти, рассмотрев прямоугольный треугольник, образованный высотой $H$, боковым ребром $l$ и проекцией бокового ребра на плоскость большего основания. Длина этой проекции равна разности радиусов окружностей, описанных около оснований. Радиусы описанных окружностей для правильных треугольников со сторонами $a_1$ и $a_2$ находятся по формуле $R = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Радиус для большего основания: $R_1 = \frac{a_1}{\sqrt{3}} = \frac{4}{\sqrt{3}}$.

Радиус для меньшего основания: $R_2 = \frac{a_2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Разность радиусов: $R_1 - R_2 = \frac{4}{\sqrt{3}} - \frac{2}{\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза – боковое ребро $l$, один катет – высота пирамиды $H$, а второй катет – разность радиусов $R_1 - R_2$. По теореме Пифагора: $l^2 = H^2 + (R_1 - R_2)^2$

Подставим известные значения: $2^2 = H^2 + \left(\frac{2}{\sqrt{3}}\right)^2$

$4 = H^2 + \frac{4}{3}$

$H^2 = 4 - \frac{4}{3} = \frac{12-4}{3} = \frac{8}{3}$

$H = \sqrt{\frac{8}{3}} = \frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Ответ: $H = \frac{2\sqrt{6}}{3}$.

Нахождение апофемы

Апофему усеченной пирамиды $h_a$ (высоту боковой грани) найдем из другого прямоугольного треугольника. Его катетами являются высота пирамиды $H$ и разность радиусов вписанных в основания окружностей (которые также являются апофемами оснований), а гипотенузой – апофема усеченной пирамиды $h_a$. Радиусы вписанных окружностей для правильных треугольников со сторонами $a_1$ и $a_2$ находятся по формуле $r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Радиус для большего основания: $r_1 = \frac{a_1}{2\sqrt{3}} = \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{\sqrt{3}}$.

Радиус для меньшего основания: $r_2 = \frac{a_2}{2\sqrt{3}} = \frac{2}{2\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Разность радиусов: $r_1 - r_2 = \frac{2}{\sqrt{3}} - \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1}{\sqrt{3}}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, где гипотенуза – апофема $h_a$, один катет – высота $H$, а второй катет – разность радиусов $r_1 - r_2$. По теореме Пифагора: $h_a^2 = H^2 + (r_1 - r_2)^2$

Подставим известные значения, включая найденное $H^2 = \frac{8}{3}$: $h_a^2 = \frac{8}{3} + \left(\frac{1}{\sqrt{3}}\right)^2$

$h_a^2 = \frac{8}{3} + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} = 3$

$h_a = \sqrt{3}$.

Ответ: $h_a = \sqrt{3}$.