Номер 1.109, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.109. Вершина пирамиды находится в центре верхней грани куба, а вершины основания – на серединах сторон нижней грани куба. Найдите площадь полной поверхности пирамиды, если ребро куба равно $\text{a}$.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ находится как сумма площади ее основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания пирамиды ($S_{осн}$)

Основанием пирамиды является четырехугольник, вершины которого — середины сторон нижней грани куба. Нижняя грань куба — это квадрат со стороной $a$. Четырехугольник, соединяющий середины сторон квадрата, также является квадратом. Обозначим вершины основания пирамиды как $K, L, M, N$, которые являются серединами сторон $AB, BC, CD, DA$ нижней грани куба.

Чтобы найти сторону этого квадрата, например $KL$, рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный в углу нижней грани куба. Катеты этого треугольника равны половинам ребра куба, то есть $\frac{a}{2}$.

По теореме Пифагора найдем квадрат стороны основания пирамиды $KL^2$:

$KL^2 = (\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2})^2 = \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{2a^2}{4} = \frac{a^2}{2}$.

Площадь основания пирамиды $S_{осн}$, будучи площадью квадрата со стороной $KL$, равна:

$S_{осн} = KL^2 = \frac{a^2}{2}$.

2. Найдем площадь боковой поверхности пирамиды ($S_{бок}$)

Вершина пирамиды $S$ находится в центре верхней грани куба, а центр основания пирамиды $O$ совпадает с центром нижней грани куба. Это означает, что пирамида является правильной, и ее боковая поверхность состоит из четырех одинаковых равнобедренных треугольников.

Площадь боковой поверхности равна $S_{бок} = 4 \cdot S_{\text{грани}}$, где $S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot h_a$, а $h_a$ — апофема (высота боковой грани).

Для нахождения апофемы $h_a$ воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, апофемой $h_a$ и расстоянием от центра основания до его стороны $r$ (апофемой основания): $h_a^2 = H^2 + r^2$.

Высота пирамиды $H$ равна расстоянию между центрами верхней и нижней граней куба, то есть $H=a$.

Апофема основания $r$ — это расстояние от центра $O$ до стороны $KL$. Рассмотрим треугольник $KOL$ (где $O$ — центр нижней грани). Он прямоугольный и равнобедренный с катетами $OK = OL = \frac{a}{2}$. $r$ является высотой этого треугольника, проведенной к гипотенузе $KL$. Длина $KL = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Из формулы площади треугольника $KOL$: $\frac{1}{2} OK \cdot OL = \frac{1}{2} KL \cdot r$.

$\frac{1}{2} \cdot \frac{a}{2} \cdot \frac{a}{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot r \implies \frac{a^2}{8} = \frac{a\sqrt{2}}{4} \cdot r \implies r = \frac{a^2}{8} \cdot \frac{4}{a\sqrt{2}} = \frac{a}{2\sqrt{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{4}$.

Теперь найдем апофему пирамиды $h_a$:

$h_a^2 = H^2 + r^2 = a^2 + (\frac{a\sqrt{2}}{4})^2 = a^2 + \frac{2a^2}{16} = a^2 + \frac{a^2}{8} = \frac{9a^2}{8}$.

$h_a = \sqrt{\frac{9a^2}{8}} = \frac{3a}{2\sqrt{2}} = \frac{3a\sqrt{2}}{4}$.

Площадь одной боковой грани:

$S_{\text{грани}} = \frac{1}{2} \cdot KL \cdot h_a = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{3a\sqrt{2}}{4} = \frac{3a^2 \cdot 2}{16} = \frac{6a^2}{16} = \frac{3a^2}{8}$.

Площадь всей боковой поверхности:

$S_{бок} = 4 \cdot S_{\text{грани}} = 4 \cdot \frac{3a^2}{8} = \frac{12a^2}{8} = \frac{3a^2}{2}$.

3. Найдем площадь полной поверхности пирамиды ($S_{полн}$)

Сложим площади основания и боковой поверхности:

$S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = \frac{a^2}{2} + \frac{3a^2}{2} = \frac{4a^2}{2} = 2a^2$.

Ответ: $2a^2$.