Номер 1.106, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.106. Используйте условие предыдущей задачи, если меньшее основание трапеции и радиус описанной окружности равны 6 см, а высота пирамиды – 8 см. Найдите площадь полной поверхности и двугранный угол при большем основании трапеции.

В условии сказано использовать условие предыдущей задачи. Стандартным условием для таких задач является то, что в основании пирамиды лежит равнобедренная трапеция, а основание высоты пирамиды совпадает с центром описанной около трапеции окружности. Трапецию можно вписать в окружность только если она равнобедренная. Обозначим пирамиду $SABCD$, где $ABCD$ - равнобедренная трапеция в основании, $AD$ - большее основание, $BC$ - меньшее основание. $SO$ - высота пирамиды, где $O$ - центр описанной окружности.

По условию дано:

• Меньшее основание трапеции $b = BC = 6$ см.
• Радиус описанной окружности $R = 6$ см.
• Высота пирамиды $H = SO = 8$ см.

Распространенным частным случаем для таких задач, который, вероятно, является условием из предыдущей задачи, является расположение центра описанной окружности на большем основании трапеции. Примем это условие. Если центр $O$ лежит на большем основании $AD$, то $AD$ является диаметром окружности. Тогда длина большего основания $a = AD = 2R = 2 \cdot 6 = 12$ см.

Найдем высоту трапеции $h_{тр}$. Так как $O$ - середина $AD$, высота трапеции будет равна расстоянию от центра $O$ до меньшего основания $BC$. Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом $OC$, половиной хорды $BC$ и расстоянием от $O$ до $BC$. $h_{тр} = \sqrt{R^2 - (BC/2)^2} = \sqrt{6^2 - (6/2)^2} = \sqrt{36 - 9} = \sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ см.

Теперь найдем длину боковой стороны трапеции $c = AB = CD$. Проведем высоту из точки $C$ к основанию $AD$ в точку $P$. Длина отрезка $PD$ равна полуразности оснований: $PD = \frac{a-b}{2} = \frac{12-6}{2} = 3$ см. По теореме Пифагора для треугольника $CPD$: $c = CD = \sqrt{h_{тр}^2 + PD^2} = \sqrt{(3\sqrt{3})^2 + 3^2} = \sqrt{27 + 9} = \sqrt{36} = 6$ см. Итак, трапеция в основании имеет стороны: $AD=12$ см, $BC=6$ см, $AB=CD=6$ см.

Площадь полной поверхности пирамиды $S_{полн}$ равна сумме площади основания $S_{осн}$ и площади боковой поверхности $S_{бок}$.

1. Найдем площадь основания (трапеции $ABCD$): $S_{осн} = \frac{a+b}{2} \cdot h_{тр} = \frac{12+6}{2} \cdot 3\sqrt{3} = 9 \cdot 3\sqrt{3} = 27\sqrt{3}$ см².

2. Найдем площадь боковой поверхности. $S_{бок}$ состоит из площадей четырех треугольников: $S_{SAD}$, $S_{SBC}$, $S_{SAB}$ и $S_{SCD}$.

- Площадь грани $SAD$: Основание этой грани $AD$ содержит центр $O$. Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания, а значит и прямой $AD$. Таким образом, $SO$ является высотой треугольника $SAD$. $S_{SAD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot SO = \frac{1}{2} \cdot 12 \cdot 8 = 48$ см².

- Площади граней $SAB$, $SBC$, $SCD$: Боковые стороны $AB$, $CD$ и меньшее основание $BC$ имеют одинаковую длину, равную 6 см. Найдем расстояние от центра $O$ до этих сторон. Расстояние от $O$ до $BC$ - это высота трапеции $h_{тр} = 3\sqrt{3}$ см. Найдем расстояние от $O$ до боковой стороны $AB$. Введем систему координат с центром в точке $O(0,0)$. Тогда $A(-6,0)$ и $D(6,0)$. Координаты точки $B$ можно найти как точку на окружности $x^2+y^2=36$ с высотой $y=h_{тр}=3\sqrt{3}$ и $x$ координатой $-(b/2)=-3$. $B(-3, 3\sqrt{3})$. Уравнение прямой $AB$: $y-0 = \frac{3\sqrt{3}-0}{-3-(-6)}(x+6) \Rightarrow \sqrt{3}x - y + 6\sqrt{3} = 0$. Расстояние от $O(0,0)$ до прямой $AB$ равно: $d(O, AB) = \frac{|\sqrt{3}(0) - 0 + 6\sqrt{3}|}{\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-1)^2}} = \frac{6\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см. Таким образом, стороны $AB$, $BC$ и $CD$ равноудалены от центра $O$ (расстояние равно $3\sqrt{3}$ см).

Следовательно, апофемы (высоты боковых граней), проведенные к этим сторонам, равны. Найдем длину апофемы $l$ для этих трех граней из прямоугольного треугольника, образованного высотой пирамиды $H$, расстоянием от $O$ до стороны $d=3\sqrt{3}$ и самой апофемой: $l = \sqrt{H^2 + d^2} = \sqrt{8^2 + (3\sqrt{3})^2} = \sqrt{64 + 27} = \sqrt{91}$ см.

Площади граней $SAB$, $SBC$ и $SCD$ равны: $S_{SAB} = S_{SBC} = S_{SCD} = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot \sqrt{91} = 3\sqrt{91}$ см².

Площадь боковой поверхности: $S_{бок} = S_{SAD} + S_{SBC} + S_{SAB} + S_{SCD} = 48 + 3 \cdot (3\sqrt{91}) = 48 + 9\sqrt{91}$ см².

3. Площадь полной поверхности: $S_{полн} = S_{осн} + S_{бок} = 27\sqrt{3} + 48 + 9\sqrt{91}$ см².

Ответ: $S_{полн} = 48 + 27\sqrt{3} + 9\sqrt{91}$ см².

Двугранный угол при большем основании $AD$ - это угол между плоскостью боковой грани $SAD$ и плоскостью основания $ABCD$.

Высота пирамиды $SO$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Точка $O$, основание высоты, лежит на ребре $AD$ (так как $AD$ - диаметр, а $O$ - его центр). Плоскость боковой грани $SAD$ проходит через высоту пирамиды $SO$. Если плоскость проходит через перпендикуляр к другой плоскости, то эти плоскости взаимно перпендикулярны. Следовательно, плоскость грани $SAD$ перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Таким образом, двугранный угол при ребре $AD$ равен $90^\circ$.

Ответ: $90^\circ$.