Номер 1.111, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.111. Стороны правильной треугольной усеченной пирамиды равны 2 см и 6 см, а двугранный угол между боковой гранью и большим основанием — $60^{\circ}$. Найдите его высоту.

Пусть $a_2$ и $a_1$ — стороны оснований правильной треугольной усеченной пирамиды. По условию задачи, сторона большего основания $a_2 = 6$ см, а сторона меньшего основания $a_1 = 2$ см. Двугранный угол между боковой гранью и большим основанием равен $\alpha = 60^\circ$.

Для нахождения высоты пирамиды $H$ рассмотрим ее сечение, проходящее через высоту пирамиды и апофемы оснований (радиусы вписанных в основания окружностей).

Формула для радиуса окружности, вписанной в правильный треугольник со стороной $a$, имеет вид:

$r = \frac{a \sqrt{3}}{6}$

Вычислим апофемы для каждого из оснований:

Апофема большего основания: $r_2 = \frac{a_2 \sqrt{3}}{6} = \frac{6 \sqrt{3}}{6} = \sqrt{3}$ см.

Апофема меньшего основания: $r_1 = \frac{a_1 \sqrt{3}}{6} = \frac{2 \sqrt{3}}{6} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ см.

В упомянутом сечении высота пирамиды $H$, разность апофем оснований ($r_2 - r_1$) и апофема боковой грани образуют прямоугольный треугольник. В этом треугольнике:

- один катет равен высоте пирамиды $H$;

- другой катет равен разности апофем оснований $r_2 - r_1$;

- угол, противолежащий катету $H$, равен заданному двугранному углу $\alpha = 60^\circ$.

Таким образом, мы можем записать соотношение:

$\tan(\alpha) = \frac{H}{r_2 - r_1}$

Отсюда высота $H$ равна:

$H = (r_2 - r_1) \cdot \tan(\alpha)$

Найдем разность апофем:

$r_2 - r_1 = \sqrt{3} - \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{3\sqrt{3} - \sqrt{3}}{3} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$ см.

Теперь вычислим высоту пирамиды, подставив известные значения:

$H = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \tan(60^\circ) = \frac{2\sqrt{3}}{3} \cdot \sqrt{3} = \frac{2 \cdot 3}{3} = 2$ см.

Ответ: 2 см.