Номер 1.117, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.117. В правильную четырехугольную усеченную пирамиду вписан куб так, что одна из граней куба совпадает с меньшим основанием усеченной пирамиды, а противоположная грань куба лежит на большем основании усеченной пирамиды. Ребро куба равно $\text{a}$, сторона меньшего основания усеченной пирамиды в два раза меньше стороны большего основания. Найдите площадь боковой поверхности усеченной пирамиды.

Пусть ребро куба равно $a$. По условию, одна из граней куба совпадает с меньшим основанием правильной четырехугольной усеченной пирамиды. Это означает, что меньшее основание пирамиды — это квадрат со стороной, равной ребру куба. Обозначим сторону меньшего основания как $b$, тогда $b = a$.

Противоположная грань куба лежит на большем основании усеченной пирамиды. Расстояние между этими гранями куба равно его ребру $a$ и одновременно является высотой усеченной пирамиды. Следовательно, высота пирамиды $h = a$.

Также из условия известно, что сторона меньшего основания в два раза меньше стороны большего основания. Обозначим сторону большего основания как $B$. Тогда $B = 2b$. Так как $b = a$, получаем $B = 2a$.

Итак, мы имеем правильную четырехугольную усеченную пирамиду со стороной меньшего основания $b=a$, стороной большего основания $B=2a$ и высотой $h=a$.

Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды ($S_{бок}$) вычисляется по формуле: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l$, где $P_1$ и $P_2$ — периметры оснований, а $l$ — апофема (высота боковой грани).

Периметр меньшего основания: $P_1 = 4b = 4a$.

Периметр большего основания: $P_2 = 4B = 4(2a) = 8a$.

Для нахождения площади необходимо найти апофему $l$. Апофему можно найти как гипотенузу прямоугольного треугольника, катетами которого являются высота пирамиды $h$ и отрезок, равный полуразности длин сторон оснований, деленных на 2 (то есть, $\frac{B}{2} - \frac{b}{2} = \frac{B-b}{2}$). По теореме Пифагора: $l^2 = h^2 + \left(\frac{B-b}{2}\right)^2$

Подставим известные значения: $l^2 = a^2 + \left(\frac{2a-a}{2}\right)^2 = a^2 + \left(\frac{a}{2}\right)^2 = a^2 + \frac{a^2}{4} = \frac{4a^2+a^2}{4} = \frac{5a^2}{4}$

$l = \sqrt{\frac{5a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{5}}{2}$

Теперь вычислим площадь боковой поверхности, подставив все найденные величины в формулу: $S_{бок} = \frac{1}{2}(P_1 + P_2) \cdot l = \frac{1}{2}(4a + 8a) \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} = \frac{1}{2}(12a) \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} = 6a \cdot \frac{a\sqrt{5}}{2} = 3a^2\sqrt{5}$.

Ответ: $3a^2\sqrt{5}$