Номер 1.124, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.124*. 1) Периметр параллелограмма ABCD равен 26 м и угол ABC равен $120^\circ$. Радиус окружности, вписанный в треугольник BCD, равен $\sqrt{3}$ м. Найдите длины сторон параллелограмма, если $AD > AB$.

2) Площадь треугольника ABC равна $15\sqrt{3} \text{ м}^2$, $\angle BAC = 120^\circ$ и $\angle ABC > \angle ACB$. Расстояние от вершины A до центра вписанной окружности равно 2 м. Найдите длину медианы, опущенной из вершины B.

1) Пусть стороны параллелограмма $AB = a$ и $AD = b$. По условию, периметр $P = 2(a+b) = 26$ м, откуда $a+b = 13$ м.

В параллелограмме сумма соседних углов равна $180^\circ$. Так как $\angle ABC = 120^\circ$, то $\angle BCD = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$.

Рассмотрим треугольник $BCD$. Его стороны: $BC = AD = b$, $CD = AB = a$. Третья сторона - диагональ $BD$. По теореме косинусов в $\triangle BCD$:

$BD^2 = BC^2 + CD^2 - 2 \cdot BC \cdot CD \cdot \cos(\angle BCD)$

$BD^2 = b^2 + a^2 - 2ab \cos(60^\circ) = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \frac{1}{2} = a^2 + b^2 - ab$.

Таким образом, $BD = \sqrt{a^2 + b^2 - ab}$.

Площадь треугольника $BCD$ можно найти по формуле: $S_{BCD} = \frac{1}{2} BC \cdot CD \cdot \sin(\angle BCD) = \frac{1}{2}ab \sin(60^\circ) = \frac{ab\sqrt{3}}{4}$.

Полупериметр треугольника $BCD$ равен $p_{BCD} = \frac{BC+CD+BD}{2} = \frac{b+a+\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2}$.

Радиус вписанной окружности $r$ связан с площадью и полупериметром формулой $S=pr$. По условию $r = \sqrt{3}$ м.

$r = \frac{S_{BCD}}{p_{BCD}} = \frac{\frac{ab\sqrt{3}}{4}}{\frac{a+b+\sqrt{a^2+b^2-ab}}{2}} = \frac{ab\sqrt{3}}{2(a+b+\sqrt{a^2+b^2-ab})}$.

Подставим известные значения $r=\sqrt{3}$ и $a+b=13$:

$\sqrt{3} = \frac{ab\sqrt{3}}{2(13+\sqrt{a^2+b^2-ab})}$.

Сократим на $\sqrt{3}$: $1 = \frac{ab}{2(13+\sqrt{a^2+b^2-ab})}$, откуда $2(13+\sqrt{a^2+b^2-ab}) = ab$.

Выразим $a^2+b^2$ через $a+b$ и $ab$: $a^2+b^2 = (a+b)^2 - 2ab = 13^2 - 2ab = 169 - 2ab$.

Подставим это выражение в уравнение:

$2(13+\sqrt{(169-2ab)-ab}) = ab$

$2(13+\sqrt{169-3ab}) = ab$.

Пусть $x = ab$. Уравнение примет вид:

$2(13+\sqrt{169-3x}) = x$

$26 + 2\sqrt{169-3x} = x$

$2\sqrt{169-3x} = x-26$.

Возведем обе части в квадрат:

$4(169-3x) = (x-26)^2$

$676 - 12x = x^2 - 52x + 676$

$x^2 - 40x = 0$

$x(x-40)=0$.

Корни уравнения: $x=0$ и $x=40$. Так как $a$ и $b$ - длины сторон, $ab > 0$, поэтому $x=ab=40$.

Мы получили систему уравнений для нахождения сторон:

$\begin{cases} a+b=13 \\ ab=40 \end{cases}$

Согласно теореме Виета, $a$ и $b$ являются корнями квадратного уравнения $t^2 - 13t + 40 = 0$.

Решим это уравнение: $D = (-13)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 40 = 169 - 160 = 9$.

$t_1 = \frac{13-\sqrt{9}}{2} = \frac{10}{2}=5$

$t_2 = \frac{13+\sqrt{9}}{2} = \frac{16}{2}=8$.

Таким образом, стороны параллелограмма равны 5 м и 8 м. По условию $AD > AB$, то есть $b > a$. Следовательно, $AB = 5$ м, $AD = 8$ м.

Ответ: 5 м и 8 м.

2) Пусть $I$ - центр вписанной окружности (инцентр) треугольника $ABC$, а $r$ - ее радиус. Расстояние от вершины $A$ до инцентра $I$ связано с радиусом $r$ и углом $\angle BAC$ формулой $AI = \frac{r}{\sin(\angle BAC / 2)}$.

По условию $AI = 2$ м и $\angle BAC = 120^\circ$. Подставим эти значения в формулу:

$2 = \frac{r}{\sin(120^\circ/2)} = \frac{r}{\sin(60^\circ)} = \frac{r}{\sqrt{3}/2}$.

Отсюда находим радиус вписанной окружности: $r = 2 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = \sqrt{3}$ м.

Площадь треугольника $S$ связана с радиусом вписанной окружности $r$ и полупериметром $p$ формулой $S = pr$. По условию $S = 15\sqrt{3}$ м$^2$.

$15\sqrt{3} = p \cdot \sqrt{3}$.

Отсюда находим полупериметр: $p = 15$ м.

Пусть стороны треугольника $a=BC$, $b=AC$, $c=AB$. Полупериметр $p=\frac{a+b+c}{2}$, значит, $a+b+c = 2p = 30$ м.

Площадь треугольника также можно выразить через две стороны и угол между ними: $S = \frac{1}{2}bc\sin(\angle BAC)$.

$15\sqrt{3} = \frac{1}{2}bc\sin(120^\circ) = \frac{1}{2}bc\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{bc\sqrt{3}}{4}$.

Отсюда $bc = 15 \cdot 4 = 60$.

Применим теорему косинусов для стороны $a$:

$a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos(120^\circ) = b^2 + c^2 - 2bc(-\frac{1}{2}) = b^2 + c^2 + bc$.

Используем тождество $b^2+c^2 = (b+c)^2 - 2bc$.

$a^2 = (b+c)^2 - 2bc + bc = (b+c)^2 - bc$.

Из $a+b+c = 30$ выразим $b+c = 30-a$. Подставим это и $bc=60$ в уравнение:

$a^2 = (30-a)^2 - 60$

$a^2 = 900 - 60a + a^2 - 60$

$0 = 840 - 60a$

$60a = 840$, откуда $a = 14$ м.

Теперь найдем $b$ и $c$. Мы имеем систему:

$\begin{cases} b+c = 30-a = 30-14=16 \\ bc=60 \end{cases}$

По теореме Виета, $b$ и $c$ - корни уравнения $t^2 - 16t + 60 = 0$.

$D = (-16)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 60 = 256 - 240 = 16$.

$t_1 = \frac{16-\sqrt{16}}{2} = \frac{12}{2}=6$

$t_2 = \frac{16+\sqrt{16}}{2} = \frac{20}{2}=10$.

Стороны $b$ и $c$ равны 6 м и 10 м. По условию $\angle ABC > \angle ACB$. В треугольнике напротив большего угла лежит большая сторона, значит $AC > AB$, то есть $b > c$.

Следовательно, $b=AC=10$ м, $c=AB=6$ м. Стороны треугольника: $a=14, b=10, c=6$.

Найдем длину медианы $m_b$, опущенной из вершины $B$ на сторону $AC$. Формула длины медианы:

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2a^2+2c^2-b^2}$.

$m_b = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 14^2 + 2 \cdot 6^2 - 10^2} = \frac{1}{2}\sqrt{2 \cdot 196 + 2 \cdot 36 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{392 + 72 - 100} = \frac{1}{2}\sqrt{364}$.

$m_b = \frac{\sqrt{364}}{2} = \frac{\sqrt{4 \cdot 91}}{2} = \frac{2\sqrt{91}}{2} = \sqrt{91}$.

Ответ: $\sqrt{91}$ м.