Номер 1.130, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.130. Найдите угол между диагоналями граней куба, сходящихся в одной точке.

Рассмотрим куб $ABCDA_1B_1C_1D_1$ с ребром, равным $a$. Выберем одну из вершин, например, вершину $A$. Из этой вершины исходят три диагонали граней, лежащих на гранях, сходящихся в этой вершине. Это диагонали $AC$ (грань $ABCD$), $AB_1$ (грань $AA_1B_1B$) и $AD_1$ (грань $AA_1D_1D$). В силу симметрии куба, угол между любыми двумя из этих диагоналей будет одинаковым. Найдем, например, угол между диагоналями $AB_1$ и $AD_1$.

Для этого рассмотрим треугольник $AB_1D_1$. Найдем длины его сторон:

• Стороны $AB_1$ и $AD_1$ являются диагоналями квадратов со стороной $a$. По теореме Пифагора, их длина равна $\sqrt{a^2 + a^2} = a\sqrt{2}$. Таким образом, $|AB_1| = a\sqrt{2}$ и $|AD_1| = a\sqrt{2}$.
• Сторона $B_1D_1$ является диагональю верхней грани куба $A_1B_1C_1D_1$, которая также является квадратом со стороной $a$. Следовательно, ее длина также равна $|B_1D_1| = a\sqrt{2}$.

Альтернативное решение (векторный метод):

Введем прямоугольную систему координат с началом в точке $A(0,0,0)$ и осями, направленными вдоль ребер куба: ось $Ox$ вдоль $AB$, ось $Oy$ вдоль $AD$, ось $Oz$ вдоль $AA_1$. Пусть ребро куба равно $a$. Тогда координаты нужных нам точек: $B_1(a,0,a)$ и $D_1(0,a,a)$.

Найдем векторы, соответствующие диагоналям $AB_1$ и $AD_1$: $\vec{AB_1} = \{a, 0, a\}$ $\vec{AD_1} = \{0, a, a\}$

Косинус угла $\alpha$ между векторами находится по формуле: $\cos \alpha = \frac{\vec{AB_1} \cdot \vec{AD_1}}{|\vec{AB_1}| \cdot |\vec{AD_1}|}$

Вычислим скалярное произведение векторов: $\vec{AB_1} \cdot \vec{AD_1} = a \cdot 0 + 0 \cdot a + a \cdot a = a^2$

Вычислим длины (модули) векторов: $|\vec{AB_1}| = \sqrt{a^2 + 0^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$ $|\vec{AD_1}| = \sqrt{0^2 + a^2 + a^2} = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$

Подставим значения в формулу для косинуса: $\cos \alpha = \frac{a^2}{(a\sqrt{2}) \cdot (a\sqrt{2})} = \frac{a^2}{2a^2} = \frac{1}{2}$

Отсюда находим угол: $\alpha = \arccos(\frac{1}{2}) = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$