Номер 1.128, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.128. Молекулы хлорида натрия, больше известные как поваренная соль, располагаются на вершинах фигуры, подобной октаэдру. В кристаллической конфигурации молекулы имеют общие ребра. Определите, сколько общих ребер может иметь одна молекула хлорида натрия с другими молекулами (рис.1.61).

Для решения задачи необходимо рассмотреть кристаллическую структуру хлорида натрия (NaCl). Хотя в тексте говорится о "молекулах", хлорид натрия в твердом состоянии представляет собой ионный кристалл, состоящий из ионов $Na^+$ и $Cl^-$, образующих кристаллическую решетку.

Фраза "Молекулы ... располагаются на вершинах фигуры, подобной октаэдру" описывает координационное окружение каждого иона. В решетке NaCl каждый ион (например, $Na^+$) окружен шестью ближайшими ионами противоположного знака ($Cl^-$). Эти шесть ионов-соседей располагаются в вершинах правильного октаэдра, в центре которого находится исходный ион $Na^+$. Такой октаэдр называется координационным полиэдром (в данном случае, координационным октаэдром).

Утверждение "В кристаллической конфигурации молекулы имеют общие ребра" означает, что координационные октаэдры, построенные вокруг ионов, соприкасаются друг с другом, имея общие ребра.

Вопрос "Определите, сколько общих ребер может иметь одна молекула хлорида натрия с другими молекулами" можно интерпретировать как: "Со сколькими другими координационными октаэдрами имеет общие ребра координационный октаэдр, построенный вокруг одного иона?". Также вопрос можно понять как "Сколько ребер координационного октаэдра одного иона являются общими с другими октаэдрами?". Обе интерпретации приводят к одному и тому же результату.

Для анализа используем модель кристаллической решетки. Пусть ионы занимают узлы с целочисленными координатами $(i, j, k)$. Ионы $Na^+$ находятся в узлах, где сумма координат $i+j+k$ четна, а ионы $Cl^-$ — где эта сумма нечетна.

Выберем в качестве центрального ион $Na^+$ в точке $M_0$ с координатами $(0, 0, 0)$. Его шесть ближайших соседей — ионы $Cl^-$ — находятся в точках с координатами $(\pm 1, 0, 0)$, $(0, \pm 1, 0)$, $(0, 0, \pm 1)$. Эти 6 ионов образуют вершины координационного октаэдра $O_0$ вокруг иона $M_0$.

Правильный октаэдр имеет 12 ребер. Рассмотрим одно из ребер октаэдра $O_0$, например, ребро, соединяющее вершины $V_1 = (1, 0, 0)$ и $V_2 = (0, 1, 0)$. Чтобы это ребро было общим для двух октаэдров, $O_0$ и $O_1$, должен существовать другой ион $Na^+$ (назовем его $M_1$), для которого ионы $V_1$ и $V_2$ также являются ближайшими соседями.

Поиск такого иона $M_1$ с координатами $(i, j, k)$ (где $i+j+k$ — четное число) показывает, что помимо иона $M_0 = (0, 0, 0)$ существует еще ровно один такой ион: $M_1 = (1, 1, 0)$. Сумма его координат $1+1+0=2$ четная, что соответствует иону $Na^+$. Таким образом, ребро, соединяющее вершины $(1, 0, 0)$ и $(0, 1, 0)$, является общим для координационных октаэдров, центрированных в точках $(0, 0, 0)$ и $(1, 1, 0)$.

Ион $M_1=(1, 1, 0)$ является одним из так называемых "следующих за ближайшими" соседей для иона $M_0=(0, 0, 0)$ (соседом того же типа). Таких соседей у иона $M_0$ всего 12. Они располагаются в точках $(\pm 1, \pm 1, 0)$, $(\pm 1, 0, \pm 1)$ и $(0, \pm 1, \pm 1)$ относительно центрального иона.

Аналогичные рассуждения можно провести для каждого из 12 ребер октаэдра $O_0$. Каждое ребро является общим с координационным октаэдром одного из 12 упомянутых выше соседей. При этом каждому из 12 ребер центрального октаэдра соответствует свой, уникальный, соседний октаэдр, с которым это ребро является общим.

Следовательно, все 12 ребер координационного октаэдра, построенного вокруг одной "молекулы", являются общими. Каждое ребро является общим с одним из 12 соседних октаэдров. Таким образом, одна "молекула" (а точнее, ее координационный октаэдр) имеет 12 общих ребер с другими "молекулами" (их октаэдрами).

Ответ: 12.