Номер 1.133, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.133. Будет ли многогранник правильным, если его вершинами являются середины ребер: 1) тетраэдра; 2) октаэдра? Как называется этот многогранник?

1) Рассмотрим правильный тетраэдр, все грани которого — равносторонние треугольники, а все ребра равны. Пусть длина ребра тетраэдра равна $a$. У тетраэдра 6 ребер. Следовательно, новый многогранник будет иметь 6 вершин, которые являются серединами этих ребер.

Грани нового многогранника образуются двумя способами:

а) Каждая из 4-х вершин исходного тетраэдра порождает одну грань нового многогранника. В каждой вершине тетраэдра сходятся 3 ребра. Плоскость, проходящая через середины этих трех ребер, отсекает от тетраэдра малый тетраэдр. Основанием этого малого тетраэдра является грань нового многогранника. Эта грань представляет собой равносторонний треугольник. Его стороны являются средними линиями граней исходного тетраэдра, поэтому длина каждой стороны равна $a/2$. Таким образом, мы получаем 4 грани в виде равносторонних треугольников.

б) Каждая из 4-х граней исходного тетраэдра также порождает одну грань нового многогранника. Соединив середины трех ребер, образующих грань тетраэдра, мы получим треугольник. Этот треугольник является средней линией исходной грани, поэтому он также равносторонний со стороной $a/2$. Таким образом, мы получаем еще 4 грани в виде равносторонних треугольников.

В итоге, новый многогранник имеет 8 граней, и все они — равные между собой равносторонние треугольники. Такой многогранник называется октаэдром.

Проверим, является ли он правильным. Многогранник называется правильным, если:

1. все его грани — равные правильные многоугольники;

2. в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер (и граней).

Первое условие выполнено, так как все 8 граней — равные равносторонние треугольники. Рассмотрим любую вершину нового многогранника (середину любого ребра исходного тетраэдра). Легко убедиться, что в каждой такой вершине сходятся 4 грани (два треугольника из типа "а" и два из типа "б"). Таким образом, второе условие также выполняется.

Следовательно, полученный многогранник является правильным. Этот многогранник — октаэдр.

Ответ: Да, многогранник будет правильным. Этот многогранник называется октаэдр.

2) Рассмотрим правильный октаэдр. У него 8 граней (равносторонние треугольники), 12 ребер и 6 вершин. Пусть длина ребра октаэдра равна $a$. Вершинами нового многогранника являются середины 12 ребер исходного октаэдра. Таким образом, новый многогранник будет иметь 12 вершин.

Грани нового многогранника также образуются двумя способами:

а) Из каждой из 6 вершин исходного октаэдра. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 ребра. Середины этих четырех ребер лежат в одной плоскости и образуют квадрат со стороной $a/2$. Таким образом, мы получаем 6 граней в виде квадратов.

б) Из каждой из 8 граней исходного октаэдра. Каждая грань октаэдра — это равносторонний треугольник. Соединив середины его сторон, мы получим равносторонний треугольник со стороной $a/2$. Таким образом, мы получаем 8 граней в виде равносторонних треугольников.

В итоге, новый многогранник имеет $6+8=14$ граней, из которых 6 — квадраты, а 8 — равносторонние треугольники.

Проверим, является ли он правильным. Одним из условий для правильного многогранника является то, что все его грани должны быть равными правильными многоугольниками одного типа. В нашем случае у многогранника есть два типа граней: квадраты и треугольники.

Поскольку не все грани одинаковы, многогранник не является правильным. Он относится к классу полуправильных многогранников (архимедовых тел) и называется кубооктаэдр.

Ответ: Нет, многогранник не будет правильным. Этот многогранник называется кубооктаэдр.