Номер 1.138, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.138. Основанием пирамиды (рис. 1.62) является прямоугольник с ребрами, равными 5 см и 15 см. Боковые ребра образуют с плоскостью основания угол, равный $60^\circ$. Докажите, что площадь сечения $АНС$ равна $\frac{125\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Рис. 1.62

Пусть дана пирамида $HABCD$, где $ABCD$ — прямоугольник в основании. По условию, $AD = 5$ см и $AB = 15$ см. Все боковые ребра ($HA, HB, HC, HD$) образуют с плоскостью основания угол $60°$.

Так как все боковые ребра образуют с плоскостью основания один и тот же угол, то вершина пирамиды $H$ проецируется в центр описанной окружности основания. Для прямоугольника центром описанной окружности является точка пересечения его диагоналей $O$. Следовательно, $HO$ — высота пирамиды, и $O$ — точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$.

Рассмотрим сечение $AHC$. Это треугольник. Чтобы найти его площадь, найдем длины его сторон $AC$, $HA$ и $HC$.

1. Найдем длину диагонали AC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$. По теореме Пифагора: $AC^2 = AD^2 + DC^2$

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, $DC = AB = 15$ см. $AC^2 = 5^2 + 15^2 = 25 + 225 = 250$

$AC = \sqrt{250} = \sqrt{25 \cdot 10} = 5\sqrt{10}$ см.

2. Найдем длины боковых ребер HA и HC.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $HOA$. Катет $OA$ является проекцией бокового ребра (гипотенузы) $HA$ на плоскость основания. Угол между ребром и его проекцией равен углу между ребром и плоскостью основания, то есть $\angle HAO = 60°$. Точка $O$ является серединой диагонали $AC$, поэтому: $OA = \frac{1}{2}AC = \frac{5\sqrt{10}}{2}$ см.

Из треугольника $HOA$: $\cos(\angle HAO) = \frac{OA}{HA}$

$HA = \frac{OA}{\cos(60°)} = \frac{5\sqrt{10}/2}{1/2} = 5\sqrt{10}$ см.

Аналогично для треугольника $HOC$, $HC = 5\sqrt{10}$ см. Это также следует из того, что все боковые ребра равны, так как они равнонаклонены к основанию.

3. Найдем площадь сечения AHC.

Мы нашли стороны треугольника $AHC$: $AC = 5\sqrt{10}$ см $HA = 5\sqrt{10}$ см $HC = 5\sqrt{10}$ см

Поскольку $AC = HA = HC$, треугольник $AHC$ является равносторонним со стороной $a = 5\sqrt{10}$ см. Площадь равностороннего треугольника вычисляется по формуле: $S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$

Подставим значение стороны $a$: $S_{AHC} = \frac{(5\sqrt{10})^2 \sqrt{3}}{4} = \frac{25 \cdot 10 \cdot \sqrt{3}}{4} = \frac{250\sqrt{3}}{4} = \frac{125\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Таким образом, доказано, что площадь сечения $AHC$ равна $\frac{125\sqrt{3}}{2}$ см$^2$.

Ответ: Площадь сечения $AHC$ равна $\frac{125\sqrt{3}}{2}$ см$^2$, что и требовалось доказать.