Номер 1.142, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.142. Основанием прямого параллелепипеда является параллелограмм, стороны которого равны 2 см и 5 см, а острый угол равен $30^\circ$. Сечение параллелепипеда, проходящее через меньшее основание параллелограмма, образует с плоскостью основания угол, равный $60^\circ$, а две другие вершины сечения расположены на боковых ребрах параллелепипеда. Найдите площадь сечения.

Пусть данный прямой параллелепипед — это $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — основание. Основание является параллелограммом со сторонами $a = 5$ см и $b = 2$ см и острым углом $\alpha = 30^\circ$. Пусть меньшая сторона основания — это $AD$, тогда $AD = 2$ см, а смежная с ней сторона $AB = 5$ см. Острый угол параллелограмма $\angle DAB = 30^\circ$.

Сечение проходит через меньшую сторону основания, то есть через $AD$. Две другие вершины сечения, назовем их $K$ и $L$, расположены на боковых ребрах. Так как сечение является плоской фигурой, его вершины должны лежать на ребрах, которые пересекает плоскость сечения. Плоскость, проходящая через $AD$, пересечет боковые ребра $BB_1$ и $CC_1$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Таким образом, искомое сечение — это четырехугольник $ADLK$. Поскольку $AD \parallel BC$, а плоскость грани $BCC_1B_1$ параллельна плоскости грани $ADD_1A_1$, то линия пересечения плоскости сечения с гранью $BCC_1B_1$ (это отрезок $KL$) будет параллельна $AD$. Следовательно, сечение $ADLK$ является трапецией.

Для нахождения площади сечения воспользуемся теоремой о площади ортогональной проекции фигуры. Площадь проекции $S_{пр}$ связана с площадью самой фигуры $S$ соотношением $S_{пр} = S \cdot \cos{\beta}$, где $\beta$ — угол между плоскостью фигуры и плоскостью проекции. В условии задачи дано, что угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $60^\circ$, то есть $\beta = 60^\circ$. Отсюда площадь сечения равна $S = \frac{S_{пр}}{\cos{\beta}}$.

Найдем проекцию сечения $ADLK$ на плоскость основания $ABCD$. Так как параллелепипед прямой, его боковые ребра ($AA_1$, $BB_1$, $CC_1$, $DD_1$) перпендикулярны плоскости основания. Проекцией точки $K$, лежащей на ребре $BB_1$, на плоскость основания является точка $B$. Проекцией точки $L$, лежащей на ребре $CC_1$, является точка $C$. Проекциями точек $A$ и $D$ являются сами эти точки. Следовательно, ортогональной проекцией сечения $ADLK$ на плоскость основания является параллелограмм $ADCB$, то есть само основание параллелепипеда.

Площадь проекции $S_{пр}$ равна площади основания — параллелограмма $ABCD$. Вычислим ее по формуле площади параллелограмма через две стороны и угол между ними: $S_{пр} = S_{ABCD} = AD \cdot AB \cdot \sin(\angle DAB)$ Подставляем известные значения: $S_{пр} = 2 \text{ см} \cdot 5 \text{ см} \cdot \sin(30^\circ) = 10 \cdot \frac{1}{2} = 5 \text{ см}^2$.

Теперь можем найти площадь искомого сечения $S$: $S = \frac{S_{пр}}{\cos(60^\circ)} = \frac{5}{\frac{1}{2}} = 5 \cdot 2 = 10 \text{ см}^2$.

Ответ: 10 см².