Номер 1.146, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.146. Будет ли многогранник правильным, если его вершинами являются середины ребер октаэдра? Найдите площадь полной поверхности полученного многогранника, если ребро октаэдра равно $\text{a}$.

Будет ли многогранник правильным, если его вершинами являются середины ребер октаэдра?

Правильный октаэдр — это многогранник, имеющий 8 граней (правильные треугольники), 12 ребер и 6 вершин. Новый многогранник, вершины которого являются серединами 12 ребер исходного октаэдра, будет иметь 12 вершин.

Рассмотрим грани, которые образуют эти вершины. Грани нового многогранника бывают двух типов:

1. Грани, образованные вокруг вершин исходного октаэдра. В каждой вершине октаэдра сходятся 4 ребра. Их середины лежат в одной плоскости и образуют правильный четырехугольник — квадрат. Так как у октаэдра 6 вершин, мы получаем 6 квадратных граней.

2. Грани, образованные на гранях исходного октаэдра. Каждая грань октаэдра — это правильный треугольник. Середины его трех сторон образуют новый, меньший правильный треугольник, который также является гранью нового многогранника. Так как у октаэдра 8 граней, мы получаем 8 треугольных граней.

Полученный многогранник, имеющий 6 квадратных и 8 треугольных граней, называется кубооктаэдром. Согласно определению, правильным многогранником (Платоновым телом) является выпуклый многогранник, у которого все грани являются равными между собой правильными многоугольниками. Поскольку у полученного многогранника есть грани двух разных типов (квадраты и треугольники), он не является правильным. Он относится к классу полуправильных многогранников (Архимедовых тел).

Ответ: Нет, многогранник не будет правильным, так как его грани — это 8 правильных треугольников и 6 квадратов, то есть не все грани являются одинаковыми.

Найдите площадь полной поверхности полученного многогранника, если ребро октаэдра равно $a$.

Найдем длину ребра полученного многогранника (кубооктаэдра). Каждое его ребро соединяет середины двух смежных ребер октаэдра, лежащих на одной грани. Такое ребро является средней линией грани октаэдра (правильного треугольника со стороной $a$). Длина средней линии треугольника равна половине длины основания, поэтому ребро кубооктаэдра, обозначим его $b$, равно:

$b = \frac{a}{2}$

Площадь полной поверхности кубооктаэдра — это сумма площадей его 6 квадратных и 8 треугольных граней, сторона которых равна $b = \frac{a}{2}$.

1. Найдем суммарную площадь квадратных граней. Площадь одного квадрата $S_{кв} = b^2$.

Суммарная площадь: $S_{квадратов} = 6 \cdot b^2 = 6 \cdot \left(\frac{a}{2}\right)^2 = 6 \cdot \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{2}$.

2. Найдем суммарную площадь треугольных граней. Площадь одного правильного треугольника $S_{\triangle} = \frac{b^2\sqrt{3}}{4}$.

Суммарная площадь: $S_{треугольников} = 8 \cdot S_{\triangle} = 8 \cdot \frac{b^2\sqrt{3}}{4} = 2b^2\sqrt{3} = 2\left(\frac{a}{2}\right)^2\sqrt{3} = 2 \cdot \frac{a^2}{4}\sqrt{3} = \frac{a^2\sqrt{3}}{2}$.

3. Полная площадь поверхности $S_{полн}$ является суммой этих площадей:

$S_{полн} = S_{квадратов} + S_{треугольников} = \frac{3a^2}{2} + \frac{a^2\sqrt{3}}{2} = \frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}$.

Ответ: $\frac{a^2(3 + \sqrt{3})}{2}$.