Номер 1.144, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.144. В правильной усеченной пирамиде $ABCDA_1B_1C_1D_1$, дано: $AB=12 \text{ см}$, $A_1B_1=4 \text{ см}$, а ее высота равна 4 см. Найдите площадь сечения $ABC_1D_1$.

Поскольку $ABCDA_1B_1C_1D_1$ — правильная усеченная пирамида, ее основаниями являются квадраты $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$, расположенные в параллельных плоскостях.

Рассмотрим сечение $ABC_1D_1$. Прямая $AB$ принадлежит плоскости нижнего основания, а прямая $C_1D_1$ — плоскости верхнего. Так как плоскости оснований параллельны, а в основаниях лежат квадраты, то $AB \parallel CD$ и $CD \parallel C_1D_1$. Следовательно, $AB \parallel C_1D_1$. Это означает, что сечение $ABC_1D_1$ является трапецией с основаниями $AB$ и $C_1D_1$.

Из условия задачи известны длины оснований трапеции: $AB = 12$ см и $C_1D_1 = A_1B_1 = 4$ см.

Докажем, что трапеция $ABC_1D_1$ равнобокая. Боковые грани правильной усеченной пирамиды — равные равнобокие трапеции. Значит, боковая грань $ADD_1A_1$ равна боковой грани $BCC_1B_1$. Отрезки $AD_1$ и $BC_1$ являются диагоналями этих равных трапеций, поэтому их длины равны: $AD_1 = BC_1$. Так как боковые стороны трапеции $ABC_1D_1$ равны, она является равнобокой.

Для нахождения площади трапеции необходимо знать ее высоту. Сначала найдем длину ее боковой стороны $AD_1$. Для этого рассмотрим боковую грань $ADD_1A_1$. Это равнобокая трапеция с основаниями $AD = AB = 12$ см и $A_1D_1 = A_1B_1 = 4$ см. Найдем высоту этой трапеции (апофему усеченной пирамиды). Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований. Высота пирамиды $OO_1 = 4$ см. Пусть $M$ и $M_1$ — середины сторон $AD$ и $A_1D_1$. Тогда $OM = \frac{1}{2}AD = \frac{12}{2} = 6$ см, а $O_1M_1 = \frac{1}{2}A_1D_1 = \frac{4}{2} = 2$ см. В сечении, проходящем через $O, O_1, M_1, M$, образуется прямоугольная трапеция $OMM_1O_1$ с высотой $OO_1=4$. Апофема $MM_1$ находится по теореме Пифагора: $MM_1 = \sqrt{OO_1^2 + (OM-O_1M_1)^2} = \sqrt{4^2 + (6-2)^2} = \sqrt{16 + 4^2} = \sqrt{16+16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$ см.

Теперь в трапеции $ADD_1A_1$ проведем высоту $D_1H$ на основание $AD$. $D_1H = MM_1 = 4\sqrt{2}$ см. Для равнобокой трапеции проекция боковой стороны на большее основание равна полуразности оснований, т.е. $HD = \frac{AD - A_1D_1}{2} = \frac{12-4}{2} = 4$ см. Тогда $AH = AD - HD = 12 - 4 = 8$ см. Из прямоугольного треугольника $AHD_1$ по теореме Пифагора найдем диагональ $AD_1$: $AD_1^2 = AH^2 + D_1H^2 = 8^2 + (4\sqrt{2})^2 = 64 + 16 \cdot 2 = 64 + 32 = 96$. $AD_1 = \sqrt{96} = \sqrt{16 \cdot 6} = 4\sqrt{6}$ см.

Теперь мы имеем все данные для равнобокой трапеции $ABC_1D_1$: основания $a=12$ см и $b=4$ см, боковая сторона $l=4\sqrt{6}$ см. Найдем ее высоту $h_{s}$. Проведем в этой трапеции высоту из вершины $D_1$ к основанию $AB$. Основание высоты разделит $AB$ на отрезки, один из которых равен полуразности оснований: $x = \frac{a-b}{2} = \frac{12-4}{2} = 4$ см. Высота $h_s$ находится из прямоугольного треугольника, образованного боковой стороной, высотой и отрезком $x$: $h_s^2 = l^2 - x^2 = (4\sqrt{6})^2 - 4^2 = 96 - 16 = 80$. $h_s = \sqrt{80} = \sqrt{16 \cdot 5} = 4\sqrt{5}$ см.

Площадь сечения $S_{ABC_1D_1}$ равна площади трапеции: $S = \frac{a+b}{2} \cdot h_s = \frac{12+4}{2} \cdot 4\sqrt{5} = \frac{16}{2} \cdot 4\sqrt{5} = 8 \cdot 4\sqrt{5} = 32\sqrt{5}$ см$^2$.

Ответ: $32\sqrt{5}$ см$^2$.