Номер 1.147, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.147. Постройте сечение прямой четырехугольной призмы, проходящее через три точки $\text{P}$, $\text{Q}$ и $\text{R}$, принадлежащие трем боковым ребрам призмы.

Для построения сечения прямой четырехугольной призмы, проходящего через три точки $P$, $Q$ и $R$, принадлежащие трем ее боковым ребрам, используется метод следов. Этот метод заключается в построении линии пересечения (следа) секущей плоскости с плоскостью основания призмы. Найденный след позволяет определить точки пересечения секущей плоскости с ребрами призмы, которые и являются вершинами искомого многоугольника сечения.

Пусть дана прямая четырехугольная призма $ABCDA_1B_1C_1D_1$, где $ABCD$ — нижнее основание. Пусть точки $P, Q, R$ расположены на трех ее боковых ребрах. Алгоритм построения универсален, но для наглядности рассмотрим случай, когда точки лежат на трех последовательных ребрах: $P \in AA_1$, $Q \in BB_1$, $R \in CC_1$. Секущая плоскость обозначается $(PQR)$.

Построение известных сторон сечения

Поскольку точки $P$ и $Q$ лежат в одной плоскости боковой грани $ABB_1A_1$, соединяем их отрезком $PQ$. Этот отрезок является одной из сторон искомого сечения.

Аналогично, точки $Q$ и $R$ лежат в плоскости боковой грани $BCC_1B_1$. Соединив их, получаем отрезок $QR$ — вторую сторону сечения.

Построение следа секущей плоскости

След — это прямая, по которой секущая плоскость $(PQR)$ пересекается с плоскостью основания $(ABC)$. Для построения прямой достаточно найти две ее точки.

a) Найдем первую точку следа. Прямые $PQ$ и $AB$ лежат в одной плоскости $(ABB_1A_1)$. В общем случае они не параллельны и пересекаются. Продлим отрезки $PQ$ и $AB$ до их пересечения в точке $X$. Так как $X \in PQ$, то $X$ принадлежит секущей плоскости $(PQR)$. Так как $X \in AB$, то $X$ принадлежит плоскости основания $(ABC)$.

б) Найдем вторую точку следа. Прямые $QR$ и $BC$ лежат в одной плоскости $(BCC_1B_1)$. Продлим их до пересечения в точке $Y$. Точка $Y$ также принадлежит и секущей плоскости, и плоскости основания.

Прямая, проходящая через точки $X$ и $Y$, является следом секущей плоскости на плоскости основания.

Примечание: Если, например, прямая $PQ$ окажется параллельна прямой $AB$, то след секущей плоскости будет параллелен прямой $AB$. В этом случае для его построения достаточно найти одну точку (например, $Y$) и провести через нее прямую, параллельную $AB$.

Нахождение четвертой вершины сечения

Искомое сечение в общем случае является четырехугольником. Четвертая вершина, назовем ее $S$, будет лежать на четвертом боковом ребре $DD_1$.

a) Найдем точку пересечения следа $XY$ с прямой $CD$, содержащей сторону основания $CD$. Обозначим эту точку $Z$. Точка $Z$ принадлежит секущей плоскости $(PQR)$ и одновременно лежит на прямой $CD$, а значит, и в плоскости грани $CDD_1C_1$.

б) Теперь в плоскости грани $CDD_1C_1$ у нас есть две точки, принадлежащие секущей плоскости: заданная точка $R$ и построенная точка $Z$. Проведем через них прямую $RZ$.

в) Прямая $RZ$ пересекает боковое ребро $DD_1$ в искомой точке $S$. Таким образом, $S = RZ \cap DD_1$.

Завершение построения

Мы нашли все четыре вершины сечения: $P, Q, R$ и $S$. Соединяем их последовательно, чтобы получить многоугольник сечения.

Отрезки $PQ$ и $QR$ уже построены. Проводим отрезок $RS$, который лежит на грани $CDD_1C_1$. Проводим отрезок $SP$, который лежит на грани $ADD_1A_1$ (так как точки $S$ и $P$ принадлежат этой грани).

Четырехугольник $PQRS$ — искомое сечение.

Данный алгоритм является общим и применяется для любого расположения трех точек на боковых ребрах. Меняется лишь то, какие именно прямые используются для нахождения точек следа. Например, если точки заданы на ребрах $AA_1, BB_1, DD_1$, то для построения следа можно использовать пересечение $PQ \cap AB$ и $QR \cap BD$. Принцип остается тем же.

Ответ: Искомым сечением является многоугольник (в общем случае четырехугольник) $PQRS$, вершины которого лежат на боковых ребрах призмы. Построение сечения выполняется методом следов:

1. Соединяются заданные точки, лежащие в одной грани.

2. Строится след секущей плоскости на плоскости основания призмы. Для этого продолжения построенных сторон сечения пересекаются с продолжениями соответствующих ребер основания.

3. С помощью следа находятся недостающие вершины сечения на оставшихся боковых ребрах.

4. Все найденные вершины последовательно соединяются, образуя искомый многоугольник сечения.