Номер 1.153, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.153. Высота правильной четырехугольной пирамиды, равная $\text{h}$, образует с боковым ребром угол $\phi$. Найдите площадь сечения, проходящего через диагональ основания и образующего с плоскостью основания угол $\gamma$.

Решение:

Пусть $SABCD$ — правильная четырехугольная пирамида с вершиной $S$ и центром основания $O$. Высота пирамиды $SO = h$.

По условию, высота $SO$ образует с боковым ребром (например, $SC$) угол $\phi$. Это означает, что в прямоугольном треугольнике $SOC$ (с прямым углом при вершине $O$) угол $\angle OSC = \phi$. Из этого треугольника мы можем найти половину диагонали основания $OC$: $OC = SO \cdot \tan(\angle OSC) = h \cdot \tan(\phi)$. Диагональ основания $AC$ в два раза больше $OC$: $AC = 2 \cdot OC = 2h \tan(\phi)$.

Сечение проходит через диагональ основания $AC$. Угол между плоскостью сечения и плоскостью основания равен $\gamma$. Этот угол является двугранным углом при ребре $AC$. Для нахождения этого угла рассмотрим плоскость, перпендикулярную ребру $AC$. В правильной пирамиде такой плоскостью является диагональная плоскость $SBD$, так как $BD \perp AC$ и $SO \perp AC$.

Пусть плоскость сечения пересекает ребро $SD$ в точке $M$. Тогда искомое сечение представляет собой треугольник $AMC$. Его основанием является диагональ $AC$, а высотой — отрезок $OM$, так как $OM$ лежит в плоскости $SBD$, перпендикулярной $AC$. Угол $\gamma$ между плоскостью сечения $AMC$ и плоскостью основания $ABC$ равен углу между их следами в плоскости $SBD$, то есть углу между $OM$ и $OD$. Таким образом, $\angle MOD = \gamma$. Площадь сечения $S_{сеч}$ вычисляется как площадь треугольника $AMC$: $S_{сеч} = \frac{1}{2} AC \cdot OM$.

Чтобы найти длину $OM$, рассмотрим треугольник $SOD$. Это прямоугольный треугольник с катетами $SO=h$ и $OD=OC=h \tan(\phi)$. Точка $M$ лежит на гипотенузе $SD$. В треугольнике $OMD$ нам известна сторона $OD$ и угол $\angle MOD = \gamma$. Найдем угол $\angle MDO$. В прямоугольном треугольнике $SOD$: $\tan(\angle SDO) = \frac{SO}{OD} = \frac{h}{h \tan(\phi)} = \cot(\phi)$. Отсюда $\angle SDO = \frac{\pi}{2} - \phi$.

Теперь применим теорему синусов к треугольнику $OMD$. Сумма углов треугольника равна $\pi$, поэтому третий угол: $\angle DMO = \pi - \angle MOD - \angle MDO = \pi - \gamma - (\frac{\pi}{2} - \phi) = \frac{\pi}{2} - \gamma + \phi$. По теореме синусов: $\frac{OM}{\sin(\angle MDO)} = \frac{OD}{\sin(\angle DMO)}$ $\frac{OM}{\sin(\frac{\pi}{2} - \phi)} = \frac{h \tan(\phi)}{\sin(\frac{\pi}{2} - (\gamma - \phi))}$ $\frac{OM}{\cos(\phi)} = \frac{h \tan(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)}$ $OM = \frac{h \tan(\phi) \cos(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)} = \frac{h \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} \cos(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)} = \frac{h \sin(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)}$.

Подставим найденные значения $AC$ и $OM$ в формулу для площади сечения: $S_{сеч} = \frac{1}{2} AC \cdot OM = \frac{1}{2} (2h \tan(\phi)) \left( \frac{h \sin(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)} \right)$ $S_{сеч} = h \tan(\phi) \frac{h \sin(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)} = h^2 \frac{\sin(\phi)}{\cos(\phi)} \frac{\sin(\phi)}{\cos(\gamma - \phi)} = \frac{h^2 \sin^2(\phi)}{\cos(\phi)\cos(\gamma - \phi)}$.

Ответ: $\frac{h^2 \sin^2(\phi)}{\cos(\phi)\cos(\gamma - \phi)}$.