Номер 1.157, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.157. Докажите, что сечение $A_1BD$ параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ делит диагональ $AC_1$ в отношении 1:2.

Для доказательства утверждения можно использовать два метода: векторный и геометрический.

Векторный метод

Введем систему координат с началом в точке $A$. Направим оси вдоль ребер параллелепипеда. Обозначим базисные векторы: $\vec{AB} = \vec{a}$, $\vec{AD} = \vec{b}$ и $\vec{AA_1} = \vec{c}$.

Выразим вектор диагонали $AC_1$ через базисные векторы. Для этого пройдем по ребрам: $\vec{AC_1} = \vec{AB} + \vec{BC} + \vec{CC_1}$. Так как $ABCD$ - параллелограмм, $\vec{BC} = \vec{AD} = \vec{b}$. Так как $AA_1C_1C$ - параллелограмм, $\vec{CC_1} = \vec{AA_1} = \vec{c}$. Следовательно, $\vec{AC_1} = \vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$.

Сечение $A_1BD$ - это плоскость, проходящая через точки $A_1$, $B$ и $D$. Пусть диагональ $AC_1$ пересекает эту плоскость в точке $O$.

Поскольку точка $O$ лежит на диагонали $AC_1$, ее радиус-вектор $\vec{AO}$ коллинеарен вектору $\vec{AC_1}$. Это можно записать как: $\vec{AO} = k \cdot \vec{AC_1} = k(\vec{a} + \vec{b} + \vec{c})$, где $k$ - некоторый коэффициент, который нам предстоит найти.

Поскольку точка $O$ лежит в плоскости сечения $A_1BD$, вектор $\vec{A_1O}$ можно представить как линейную комбинацию векторов $\vec{A_1B}$ и $\vec{A_1D}$, так как эти векторы лежат в данной плоскости: $\vec{A_1O} = x \cdot \vec{A_1B} + y \cdot \vec{A_1D}$, где $x, y$ - некоторые коэффициенты.

Выразим все векторы через базис: $\vec{A_1O} = \vec{AO} - \vec{AA_1} = \vec{AO} - \vec{c}$$\vec{A_1B} = \vec{AB} - \vec{AA_1} = \vec{a} - \vec{c}$$\vec{A_1D} = \vec{AD} - \vec{AA_1} = \vec{b} - \vec{c}$

Подставим эти выражения в уравнение для точки $O$: $\vec{AO} - \vec{c} = x(\vec{a} - \vec{c}) + y(\vec{b} - \vec{c})$$\vec{AO} = x\vec{a} + y\vec{b} - x\vec{c} - y\vec{c} + \vec{c}$$\vec{AO} = x\vec{a} + y\vec{b} + (1 - x - y)\vec{c}$

Теперь у нас есть два выражения для вектора $\vec{AO}$. Приравняем их: $k\vec{a} + k\vec{b} + k\vec{c} = x\vec{a} + y\vec{b} + (1 - x - y)\vec{c}$

Так как векторы $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ не компланарны (они являются ребрами параллелепипеда, выходящими из одной вершины), равенство возможно только если коэффициенты при соответствующих векторах равны: $ \begin{cases} k = x \\ k = y \\ k = 1 - x - y \end{cases} $

Подставим первые два уравнения в третье: $k = 1 - k - k$$3k = 1$$k = \frac{1}{3}$

Таким образом, $\vec{AO} = \frac{1}{3}\vec{AC_1}$. Это означает, что точка $O$ делит отрезок $AC_1$ так, что длина $AO$ составляет $\frac{1}{3}$ от длины $AC_1$. Оставшаяся часть отрезка $OC_1$ составляет $1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$ от длины $AC_1$.

Следовательно, отношение $AO : OC_1 = \frac{1}{3} : \frac{2}{3} = 1:2$. Что и требовалось доказать.

Геометрический метод

Рассмотрим диагональное сечение параллелепипеда - плоскость $ACC_1A_1$. Эта плоскость содержит искомую диагональ $AC_1$. Найдем линию пересечения этой плоскости с плоскостью сечения $A_1BD$.

Точка $A_1$ принадлежит обеим плоскостям, значит, она лежит на линии их пересечения.

Найдем вторую общую точку. Плоскость $A_1BD$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $BD$. Плоскость $ACC_1A_1$ пересекает плоскость основания $ABCD$ по прямой $AC$. Следовательно, точка пересечения прямых $AC$ и $BD$ является общей точкой для плоскостей $A_1BD$ и $ACC_1A_1$.

Пусть $M$ - точка пересечения диагоналей $AC$ и $BD$ основания. В параллелограмме $ABCD$ диагонали точкой пересечения делятся пополам, значит, $M$ - середина $AC$, то есть $AM = \frac{1}{2}AC$.

Таким образом, плоскости $A_1BD$ и $ACC_1A_1$ пересекаются по прямой $A_1M$.

Искомая точка $O$ является точкой пересечения диагонали $AC_1$ и плоскости $A_1BD$. Так как $AC_1$ лежит в плоскости $ACC_1A_1$, а линия пересечения этой плоскости с $A_1BD$ есть $A_1M$, то точка $O$ является точкой пересечения отрезков $AC_1$ и $A_1M$.

Рассмотрим треугольники $\triangle AOM$ и $\triangle C_1OA_1$ в плоскости $ACC_1A_1$. 1. $\angle AOM = \angle C_1OA_1$ как вертикальные углы. 2. $ACC_1A_1$ - параллелограмм, поэтому $AC \parallel A_1C_1$. Прямая $AM$ лежит на $AC$, значит $AM \parallel A_1C_1$. 3. Рассмотрим параллельные прямые $AM$ и $A_1C_1$ и секущую $A_1M$. Углы $\angle OMA$ и $\angle OA_1C_1$ (или $\angle A_1MC$ и $\angle MA_1C_1$) являются накрест лежащими. Но удобнее рассмотреть секущую $AC_1$. 4. Рассмотрим параллельные прямые $AC$ и $A_1C_1$ и секущую $AC_1$. Углы $\angle MAO$ (он же $\angle CAC_1$) и $\angle A_1C_1O$ (он же $\angle A_1C_1A$) являются накрест лежащими, следовательно, они равны.

Итак, $\triangle AOM \sim \triangle C_1OA_1$ по двум углам (первый признак подобия).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон: $\frac{AO}{C_1O} = \frac{AM}{C_1A_1}$

Мы знаем, что $M$ - середина $AC$, поэтому $AM = \frac{1}{2}AC$. В параллелепипеде противоположные грани - равные параллелограммы, поэтому $ABCD$ и $A_1B_1C_1D_1$ равны. Отсюда следует, что их диагонали равны: $AC = A_1C_1$.

Подставим эти соотношения в формулу пропорциональности: $\frac{AO}{C_1O} = \frac{\frac{1}{2}AC}{AC} = \frac{1}{2}$

Таким образом, отношение $AO : OC_1 = 1:2$. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. Сечение $A_1BD$ делит диагональ $AC_1$ в точке $O$ так, что $AO:OC_1 = 1:2$.