Работа в группе, страница 58 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Найдите способы решения следующей проблемы.

Как можно найти направляющий вектор прямой и координаты точки, лежащей на этой прямой, заданной общим уравнением? Выполните следующее задание.

Задание 1-й группы $ \begin{cases} 2x+3y+z-1=0, \\ 3x+2y+z-5=0 \end{cases} $

Задание 2-й группы $ \begin{cases} x-2y+3z-6=0, \\ 3x-2y-5z-6=0 \end{cases} $

Задание 3-й группы $ \begin{cases} x+y-z-1=0, \\ 4x+y-3z-3=0 \end{cases} $

Задание 4-й группы $ \begin{cases} x-4y-2z+3=0, \\ 3x+y+z-5=0 \end{cases} $

Прямая в пространстве, заданная общим уравнением, представляет собой линию пересечения двух плоскостей:

$ \begin{cases} A_1x + B_1y + C_1z + D_1 = 0 \\ A_2x + B_2y + C_2z + D_2 = 0 \end{cases} $

Для нахождения направляющего вектора прямой и координат точки, лежащей на этой прямой, можно использовать следующий алгоритм.

1. Нахождение направляющего вектора.

Каждое уравнение в системе задает плоскость. Векторы нормали к этим плоскостям имеют координаты $\vec{n_1} = (A_1, B_1, C_1)$ и $\vec{n_2} = (A_2, B_2, C_2)$. Линия пересечения плоскостей (наша прямая) перпендикулярна обоим векторам нормали. Следовательно, направляющий вектор прямой $\vec{s}$ можно найти как векторное произведение векторов нормали:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ A_1 & B_1 & C_1 \\ A_2 & B_2 & C_2 \end{vmatrix}$

Любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{s}$, также будет являться направляющим вектором прямой.

2. Нахождение координат точки на прямой.

Чтобы найти координаты точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$, лежащей на прямой, нужно найти одно из частных решений системы уравнений. Для этого можно придать одной из переменных произвольное значение (например, положить $x=0$, $y=0$ или $z=0$) и решить полученную систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными. Если при выборе значения (например, $z=0$) система не имеет решений или имеет бесконечное множество решений, следует выбрать другое значение или другую переменную.

Применим этот метод для решения заданий.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} 2x + 3y + z - 1 = 0 \\ 3x + 2y + z - 5 = 0 \end{cases} $

Векторы нормали к плоскостям: $\vec{n_1} = (2, 3, 1)$ и $\vec{n_2} = (3, 2, 1)$.

Находим направляющий вектор $\vec{s}$ как векторное произведение:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 2 & 3 & 1 \\ 3 & 2 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 1 - 1 \cdot 2) - \vec{j}(2 \cdot 1 - 1 \cdot 3) + \vec{k}(2 \cdot 2 - 3 \cdot 3) = \vec{i}(1) - \vec{j}(-1) + \vec{k}(-5) = (1, 1, -5)$.

Для нахождения точки на прямой положим, например, $x = 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} 3y + z - 1 = 0 \\ 2y + z - 5 = 0 \end{cases} $

Вычитая второе уравнение из первого, получаем: $(3y - 2y) + (z - z) + (-1 - (-5)) = 0$, откуда $y + 4 = 0$, то есть $y = -4$. Подставляя $y = -4$ в первое уравнение, находим $z$: $3(-4) + z - 1 = 0 \Rightarrow -12 + z - 1 = 0 \Rightarrow z = 13$.

Таким образом, одна из точек на прямой — $M_0(0, -4, 13)$.

Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(1, 1, -5)$, точка на прямой $M_0(0, -4, 13)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 2y + 3z - 6 = 0 \\ 3x - 2y - 5z - 6 = 0 \end{cases} $

Векторы нормали к плоскостям: $\vec{n_1} = (1, -2, 3)$ и $\vec{n_2} = (3, -2, -5)$.

Находим направляющий вектор $\vec{s}$:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -2 & 3 \\ 3 & -2 & -5 \end{vmatrix} = \vec{i}((-2)(-5) - 3(-2)) - \vec{j}(1(-5) - 3 \cdot 3) + \vec{k}(1(-2) - (-2)3) = \vec{i}(16) - \vec{j}(-14) + \vec{k}(4) = (16, 14, 4)$.

В качестве направляющего вектора можно взять любой коллинеарный вектор, например, разделив координаты на 2: $\vec{s'} = (8, 7, 2)$.

Для нахождения точки на прямой положим $z = 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} x - 2y - 6 = 0 \\ 3x - 2y - 6 = 0 \end{cases} $

Вычитая первое уравнение из второго, получаем: $(3x - x) + (-2y - (-2y)) + (-6 - (-6)) = 0$, откуда $2x = 0$, то есть $x = 0$. Подставляя $x = 0$ в первое уравнение, находим $y$: $0 - 2y - 6 = 0 \Rightarrow -2y = 6 \Rightarrow y = -3$.

Таким образом, одна из точек на прямой — $M_0(0, -3, 0)$.

Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(8, 7, 2)$, точка на прямой $M_0(0, -3, 0)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x + y - z - 1 = 0 \\ 4x + y - 3z - 3 = 0 \end{cases} $

Векторы нормали к плоскостям: $\vec{n_1} = (1, 1, -1)$ и $\vec{n_2} = (4, 1, -3)$.

Находим направляющий вектор $\vec{s}$:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & -1 \\ 4 & 1 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1(-3) - (-1)1) - \vec{j}(1(-3) - (-1)4) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 1 \cdot 4) = \vec{i}(-2) - \vec{j}(1) + \vec{k}(-3) = (-2, -1, -3)$.

Можно использовать коллинеарный вектор $\vec{s'} = (2, 1, 3)$.

Для нахождения точки на прямой положим $z = 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} x + y - 1 = 0 \\ 4x + y - 3 = 0 \end{cases} $

Вычитая первое уравнение из второго: $(4x - x) + (y - y) + (-3 - (-1)) = 0$, откуда $3x - 2 = 0$, то есть $x = 2/3$. Из первого уравнения $y = 1 - x = 1 - 2/3 = 1/3$.

Таким образом, одна из точек на прямой — $M_0(2/3, 1/3, 0)$.

Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(2, 1, 3)$, точка на прямой $M_0(2/3, 1/3, 0)$.

Дана система уравнений: $ \begin{cases} x - 4y - 2z + 3 = 0 \\ 3x + y + z - 5 = 0 \end{cases} $

Векторы нормали к плоскостям: $\vec{n_1} = (1, -4, -2)$ и $\vec{n_2} = (3, 1, 1)$.

Находим направляющий вектор $\vec{s}$:

$\vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & -4 & -2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}((-4)1 - (-2)1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-2)3) + \vec{k}(1 \cdot 1 - (-4)3) = \vec{i}(-2) - \vec{j}(7) + \vec{k}(13) = (-2, -7, 13)$.

Для нахождения точки на прямой положим $z = 0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} x - 4y + 3 = 0 \\ 3x + y - 5 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = 5 - 3x$. Подставим в первое уравнение: $x - 4(5 - 3x) + 3 = 0 \Rightarrow x - 20 + 12x + 3 = 0 \Rightarrow 13x - 17 = 0 \Rightarrow x = 17/13$.

Теперь находим $y$: $y = 5 - 3(17/13) = 65/13 - 51/13 = 14/13$.

Таким образом, одна из точек на прямой — $M_0(17/13, 14/13, 0)$.

Ответ: направляющий вектор $\vec{s}=(-2, -7, 13)$, точка на прямой $M_0(17/13, 14/13, 0)$.