Номер 2.2, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.2. Найдите направляющий вектор прямой, заданной системой уравнений из предыдущей задачи.

2.2. Прямая в пространстве, заданная как пересечение двух плоскостей, имеет направляющий вектор, который ортогонален (перпендикулярен) нормальным векторам обеих плоскостей. Такой вектор можно найти с помощью векторного произведения нормальных векторов.

Поскольку система уравнений из предыдущей задачи не предоставлена, предположим, что она имела следующий вид (это типичный пример для таких задач): $$ \begin{cases} x + y + z - 1 = 0 \\ 2x - y + 3z - 5 = 0 \end{cases} $$

Каждое уравнение в этой системе — это уравнение плоскости вида $Ax + By + Cz + D = 0$, где вектор нормали к плоскости имеет координаты $\vec{n} = (A, B, C)$.

1. Найдем вектор нормали для первой плоскости $x + y + z - 1 = 0$:

Коэффициенты при $x, y, z$ равны $1, 1, 1$. Следовательно, вектор нормали $\vec{n_1} = (1, 1, 1)$.

2. Найдем вектор нормали для второй плоскости $2x - y + 3z - 5 = 0$:

Коэффициенты при $x, y, z$ равны $2, -1, 3$. Следовательно, вектор нормали $\vec{n_2} = (2, -1, 3)$.

3. Направляющий вектор прямой $\vec{s}$ является результатом векторного произведения векторов $\vec{n_1}$ и $\vec{n_2}$: $$ \vec{s} = \vec{n_1} \times \vec{n_2} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 3 \end{vmatrix} $$

Вычислим определитель: $$ \vec{s} = \vec{i}(1 \cdot 3 - (-1) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 3 - 2 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot (-1) - 2 \cdot 1) $$ $$ \vec{s} = \vec{i}(3 + 1) - \vec{j}(3 - 2) + \vec{k}(-1 - 2) $$ $$ \vec{s} = 4\vec{i} - 1\vec{j} - 3\vec{k} $$

Таким образом, координаты направляющего вектора прямой: $\vec{s} = (4, -1, -3)$.

Стоит отметить, что любой вектор, коллинеарный вектору $\vec{s}$, например, $(-4, 1, 3)$, также будет являться направляющим вектором данной прямой.

Ответ: направляющим вектором прямой, заданной указанной системой, является вектор $\vec{s} = (4, -1, -3)$.