Номер 2.6, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.6. Найдите координату точки, принадлежащей и не принадлежащей данной прямой:

1) $\begin{cases} x + y - z - 5 = 0, \\ 2x - y - 3z - 13 = 0; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x + 5y + 9z - 3 = 0, \\ 2x + y - 5z + 8 = 0; \end{cases}$

3) $\begin{cases} 2x + y - z - 5 = 0, \\ 2y - 3z + 9 = 0; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x + z - 4 = 0, \\ y - z - 1 = 0. \end{cases}$

Для каждой прямой, заданной системой уравнений, мы найдем одну точку, принадлежащую ей, и одну точку, не принадлежащую ей.

Точка принадлежит прямой, если ее координаты удовлетворяют обоим уравнениям системы. Чтобы найти такую точку, можно задать значение одной из координат (например, $z=0$) и решить полученную систему из двух уравнений с двумя неизвестными.

Точка не принадлежит прямой, если ее координаты не удовлетворяют хотя бы одному из уравнений системы. Часто для этого достаточно проверить простую точку, например, начало координат $(0, 0, 0)$.

1)Дана система: $ \begin{cases} x + y - z - 5 = 0 \\ 2x - y - 3z - 13 = 0 \end{cases} $

Точка, принадлежащая прямой:

Пусть $z=0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} x + y - 5 = 0 \\ 2x - y - 13 = 0 \end{cases} $

Сложим два уравнения:

$(x + y - 5) + (2x - y - 13) = 0$

$3x - 18 = 0$

$3x = 18 \implies x = 6$

Подставим $x=6$ в первое уравнение:

$6 + y - 5 = 0 \implies y = -1$

Таким образом, точка с координатами $(6, -1, 0)$ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Проверим точку $(0, 0, 0)$. Подставим ее координаты в первое уравнение:

$0 + 0 - 0 - 5 = -5 \neq 0$

Так как уравнение не выполняется, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

Ответ: точка $(6, -1, 0)$ принадлежит прямой; точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

2)Дана система: $ \begin{cases} x + 5y + 9z - 3 = 0 \\ 2x + y - 5z + 8 = 0 \end{cases} $

Точка, принадлежащая прямой:

Пусть $z=0$. Система примет вид:

$ \begin{cases} x + 5y - 3 = 0 \\ 2x + y + 8 = 0 \end{cases} $

Из второго уравнения выразим $y$: $y = -2x - 8$.

Подставим это выражение в первое уравнение:

$x + 5(-2x - 8) - 3 = 0$

$x - 10x - 40 - 3 = 0$

$-9x - 43 = 0 \implies x = -\frac{43}{9}$

Найдем $y$:

$y = -2(-\frac{43}{9}) - 8 = \frac{86}{9} - \frac{72}{9} = \frac{14}{9}$

Таким образом, точка с координатами $(-\frac{43}{9}, \frac{14}{9}, 0)$ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Проверим точку $(0, 0, 0)$. Подставим ее координаты в первое уравнение:

$0 + 5(0) + 9(0) - 3 = -3 \neq 0$

Так как уравнение не выполняется, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

Ответ: точка $(-\frac{43}{9}, \frac{14}{9}, 0)$ принадлежит прямой; точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

3)Дана система: $ \begin{cases} 2x + y - z - 5 = 0 \\ 2y - 3z + 9 = 0 \end{cases} $

Точка, принадлежащая прямой:

Во втором уравнении нет переменной $x$. Найдем простое решение для второго уравнения. Пусть $y=0$.

$2(0) - 3z + 9 = 0 \implies -3z = -9 \implies z = 3$

Теперь подставим $y=0$ и $z=3$ в первое уравнение, чтобы найти $x$:

$2x + 0 - 3 - 5 = 0$

$2x - 8 = 0 \implies 2x = 8 \implies x = 4$

Таким образом, точка с координатами $(4, 0, 3)$ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Проверим точку $(0, 0, 0)$. Подставим ее координаты в первое уравнение:

$2(0) + 0 - 0 - 5 = -5 \neq 0$

Так как уравнение не выполняется, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

Ответ: точка $(4, 0, 3)$ принадлежит прямой; точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

4)Дана система: $ \begin{cases} x + z - 4 = 0 \\ y - z - 1 = 0 \end{cases} $

Точка, принадлежащая прямой:

Выразим $x$ и $y$ через $z$:

Из первого уравнения: $x = 4 - z$

Из второго уравнения: $y = z + 1$

Зададим произвольное значение для $z$, например $z=0$.

Тогда $x = 4 - 0 = 4$ и $y = 0 + 1 = 1$.

Таким образом, точка с координатами $(4, 1, 0)$ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Проверим точку $(0, 0, 0)$. Подставим ее координаты в первое уравнение:

$0 + 0 - 4 = -4 \neq 0$

Так как уравнение не выполняется, точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.

Ответ: точка $(4, 1, 0)$ принадлежит прямой; точка $(0, 0, 0)$ не принадлежит прямой.