Номер 2.12, страница 61 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.12. Используя условие задачи 2.10, напишите уравнения прямых, проходящих через каждую вершину пирамиды и перпендикулярных ее противоположной грани.

2.10. Даны координаты вершин треугольной пирамиды ABCD: $A (1; -2; 5)$, $B (-3; 0; 0)$, $C (0; 0; 1)$ и $D (-2; 1; 4)$. 1) Напишите уравнение граней ABC и ABD; 2) напишите общее уравнение прямой AB и найдите направляющий вектор этой прямой; 3) покажите, что найденный вектор коллинеарен вектору AB. Сделайте вывод.

Задача состоит в том, чтобы для каждой вершины пирамиды ABCD найти уравнение прямой, проходящей через эту вершину и перпендикулярной противоположной грани. Такая прямая является высотой пирамиды. Направляющим вектором высоты, опущенной из вершины, является вектор нормали к плоскости противоположной грани. Вектор нормали к плоскости, проходящей через три точки, находится как векторное произведение двух неколлинеарных векторов, лежащих в этой плоскости. Каноническое уравнение прямой, проходящей через точку $(x_0, y_0, z_0)$ с направляющим вектором $\vec{v}=(l, m, n)$, имеет вид $\frac{x-x_0}{l} = \frac{y-y_0}{m} = \frac{z-z_0}{n}$.

Используем координаты вершин из условия задачи 2.10: A(1; -2; 5), B(-3; 0; 0), C(0; 0; 1) и D(-2; 1; 4).

Прямая, проходящая через вершину A и перпендикулярная грани BCD

Эта прямая проходит через точку A(1; -2; 5). Ее направляющий вектор $\vec{v}_A$ совпадает с вектором нормали $\vec{n}_{BCD}$ к плоскости грани BCD. Найдем $\vec{n}_{BCD}$ как векторное произведение векторов $\vec{BC}$ и $\vec{BD}$. Сначала определим координаты этих векторов: $\vec{BC} = C - B = (0 - (-3); 0 - 0; 1 - 0) = (3; 0; 1)$ и $\vec{BD} = D - B = (-2 - (-3); 1 - 0; 4 - 0) = (1; 1; 4)$. Теперь вычислим их векторное произведение, которое и будет направляющим вектором прямой: $\vec{v}_A = \vec{n}_{BCD} = \vec{BC} \times \vec{BD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 3 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(0 \cdot 4 - 1 \cdot 1) - \vec{j}(3 \cdot 4 - 1 \cdot 1) + \vec{k}(3 \cdot 1 - 0 \cdot 1) = -1\vec{i} - 11\vec{j} + 3\vec{k} = (-1; -11; 3)$.

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точку A(1; -2; 5) с направляющим вектором $\vec{v}_A = (-1; -11; 3)$, имеет вид: $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y - (-2)}{-11} = \frac{z - 5}{3}$.

Ответ: $\frac{x - 1}{-1} = \frac{y + 2}{-11} = \frac{z - 5}{3}$.

Прямая, проходящая через вершину B и перпендикулярная грани ACD

Эта прямая проходит через точку B(-3; 0; 0). Ее направляющий вектор $\vec{v}_B$ равен вектору нормали $\vec{n}_{ACD}$ к грани ACD. Найдем $\vec{n}_{ACD}$ как векторное произведение векторов $\vec{AC}$ и $\vec{AD}$. Координаты векторов: $\vec{AC} = C - A = (0 - 1; 0 - (-2); 1 - 5) = (-1; 2; -4)$ и $\vec{AD} = D - A = (-2 - 1; 1 - (-2); 4 - 5) = (-3; 3; -1)$. Вычислим направляющий вектор $\vec{v}_B$: $\vec{v}_B = \vec{n}_{ACD} = \vec{AC} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -1 & 2 & -4 \\ -3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2(-1) - (-4)3) - \vec{j}((-1)(-1) - (-4)(-3)) + \vec{k}((-1)3 - 2(-3)) = 10\vec{i} + 11\vec{j} + 3\vec{k} = (10; 11; 3)$.

Уравнение прямой, проходящей через точку B(-3; 0; 0) с направляющим вектором $\vec{v}_B = (10; 11; 3)$: $\frac{x - (-3)}{10} = \frac{y - 0}{11} = \frac{z - 0}{3}$.

Ответ: $\frac{x + 3}{10} = \frac{y}{11} = \frac{z}{3}$.

Прямая, проходящая через вершину C и перпендикулярная грани ABD

Эта прямая проходит через точку C(0; 0; 1). Ее направляющий вектор $\vec{v}_C$ равен вектору нормали $\vec{n}_{ABD}$ к грани ABD. Найдем $\vec{n}_{ABD}$ как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AD}$. Координаты векторов: $\vec{AB} = B - A = (-3 - 1; 0 - (-2); 0 - 5) = (-4; 2; -5)$ и $\vec{AD} = D - A = (-2 - 1; 1 - (-2); 4 - 5) = (-3; 3; -1)$. Вычислим направляющий вектор $\vec{v}_C$: $\vec{v}_C = \vec{n}_{ABD} = \vec{AB} \times \vec{AD} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 2 & -5 \\ -3 & 3 & -1 \end{vmatrix} = \vec{i}(2(-1) - (-5)3) - \vec{j}((-4)(-1) - (-5)(-3)) + \vec{k}((-4)3 - 2(-3)) = 13\vec{i} + 11\vec{j} - 6\vec{k} = (13; 11; -6)$.

Уравнение прямой, проходящей через точку C(0; 0; 1) с направляющим вектором $\vec{v}_C = (13; 11; -6)$: $\frac{x - 0}{13} = \frac{y - 0}{11} = \frac{z - 1}{-6}$.

Ответ: $\frac{x}{13} = \frac{y}{11} = \frac{z - 1}{-6}$.

Прямая, проходящая через вершину D и перпендикулярная грани ABC

Эта прямая проходит через точку D(-2; 1; 4). Ее направляющий вектор $\vec{v}_D$ равен вектору нормали $\vec{n}_{ABC}$ к грани ABC. Найдем $\vec{n}_{ABC}$ как векторное произведение $\vec{AB} \times \vec{AC}$. Координаты векторов: $\vec{AB} = B - A = (-4; 2; -5)$ и $\vec{AC} = C - A = (-1; 2; -4)$. Вычислим направляющий вектор $\vec{v}_D$: $\vec{v}_D = \vec{n}_{ABC} = \vec{AB} \times \vec{AC} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -4 & 2 & -5 \\ -1 & 2 & -4 \end{vmatrix} = \vec{i}(2(-4) - (-5)2) - \vec{j}((-4)(-4) - (-5)(-1)) + \vec{k}((-4)2 - 2(-1)) = 2\vec{i} - 11\vec{j} - 6\vec{k} = (2; -11; -6)$.

Уравнение прямой, проходящей через точку D(-2; 1; 4) с направляющим вектором $\vec{v}_D = (2; -11; -6)$: $\frac{x - (-2)}{2} = \frac{y - 1}{-11} = \frac{z - 4}{-6}$.

Ответ: $\frac{x + 2}{2} = \frac{y - 1}{-11} = \frac{z - 4}{-6}$.