Номер 2.5, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.5. Покажите, что векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны и найдите координаты вектора $\vec{n}$, перпендикулярного этим векторам:

1) $\vec{a}(1; 2; -2), \vec{b}(3; 0; 4)$;

2) $\vec{a}(0; 3; -4), \vec{b}(2; 5; 4)$;

3) $\vec{a}(1; 3; -2), \vec{b}(2; 1; 1)$;

4) $\vec{a}(-2; 1; 4), \vec{b}(1; -2; 3)$.

1) Даны векторы $\vec{a}(1; 2; -2)$ и $\vec{b}(3; 0; 4)$.

Покажем, что векторы неколлинеарны.

Два вектора коллинеарны, если их соответствующие координаты пропорциональны. Проверим это условие: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{1}{3}$, $\frac{a_y}{b_y} = \frac{2}{0}$. Поскольку координата $b_y = 0$, а $a_y \neq 0$, векторы не могут быть коллинеарными (иначе $a_y$ тоже была бы равна нулю). Отношения координат не равны, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны.

Найдем координаты вектора $\vec{n}$, перпендикулярного этим векторам.

Таким вектором является их векторное произведение $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 2 & -2 \\ 3 & 0 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(2 \cdot 4 - (-2) \cdot 0) - \vec{j}(1 \cdot 4 - (-2) \cdot 3) + \vec{k}(1 \cdot 0 - 2 \cdot 3)$

$= \vec{i}(8 - 0) - \vec{j}(4 + 6) + \vec{k}(0 - 6) = 8\vec{i} - 10\vec{j} - 6\vec{k}$.

Координаты искомого вектора: $\vec{n}(8; -10; -6)$.

Ответ: Векторы неколлинеарны, поскольку их координаты не пропорциональны. Координаты перпендикулярного вектора $\vec{n} = (8; -10; -6)$.

2) Даны векторы $\vec{a}(0; 3; -4)$ и $\vec{b}(2; 5; 4)$.

Покажем, что векторы неколлинеарны.

Проверим пропорциональность координат: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{0}{2} = 0$, $\frac{a_y}{b_y} = \frac{3}{5}$. Так как $0 \neq \frac{3}{5}$, отношения координат не равны, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны.

Найдем координаты вектора $\vec{n}$, перпендикулярного этим векторам.

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 0 & 3 & -4 \\ 2 & 5 & 4 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 4 - (-4) \cdot 5) - \vec{j}(0 \cdot 4 - (-4) \cdot 2) + \vec{k}(0 \cdot 5 - 3 \cdot 2)$

$= \vec{i}(12 + 20) - \vec{j}(0 + 8) + \vec{k}(0 - 6) = 32\vec{i} - 8\vec{j} - 6\vec{k}$.

Координаты искомого вектора: $\vec{n}(32; -8; -6)$.

Ответ: Векторы неколлинеарны, поскольку их координаты не пропорциональны. Координаты перпендикулярного вектора $\vec{n} = (32; -8; -6)$.

3) Даны векторы $\vec{a}(1; 3; -2)$ и $\vec{b}(2; 1; 1)$.

Покажем, что векторы неколлинеарны.

Проверим пропорциональность координат: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{1}{2}$, $\frac{a_y}{b_y} = \frac{3}{1} = 3$. Так как $\frac{1}{2} \neq 3$, отношения координат не равны, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны.

Найдем координаты вектора $\vec{n}$, перпендикулярного этим векторам.

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 3 & -2 \\ 2 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \vec{i}(3 \cdot 1 - (-2) \cdot 1) - \vec{j}(1 \cdot 1 - (-2) \cdot 2) + \vec{k}(1 \cdot 1 - 3 \cdot 2)$

$= \vec{i}(3 + 2) - \vec{j}(1 + 4) + \vec{k}(1 - 6) = 5\vec{i} - 5\vec{j} - 5\vec{k}$.

Координаты искомого вектора: $\vec{n}(5; -5; -5)$.

Ответ: Векторы неколлинеарны, поскольку их координаты не пропорциональны. Координаты перпендикулярного вектора $\vec{n} = (5; -5; -5)$.

4) Даны векторы $\vec{a}(-2; 1; 4)$ и $\vec{b}(1; -2; 3)$.

Покажем, что векторы неколлинеарны.

Проверим пропорциональность координат: $\frac{a_x}{b_x} = \frac{-2}{1} = -2$, $\frac{a_y}{b_y} = \frac{1}{-2} = -0.5$. Так как $-2 \neq -0.5$, отношения координат не равны, следовательно, векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ неколлинеарны.

Найдем координаты вектора $\vec{n}$, перпендикулярного этим векторам.

Вычислим векторное произведение $\vec{n} = [\vec{a}, \vec{b}]$.

$\vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ -2 & 1 & 4 \\ 1 & -2 & 3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot 3 - 4 \cdot (-2)) - \vec{j}((-2) \cdot 3 - 4 \cdot 1) + \vec{k}((-2) \cdot (-2) - 1 \cdot 1)$

$= \vec{i}(3 + 8) - \vec{j}(-6 - 4) + \vec{k}(4 - 1) = 11\vec{i} + 10\vec{j} + 3\vec{k}$.

Координаты искомого вектора: $\vec{n}(11; 10; 3)$.

Ответ: Векторы неколлинеарны, поскольку их координаты не пропорциональны. Координаты перпендикулярного вектора $\vec{n} = (11; 10; 3)$.