Номер 2.1, страница 60 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

2.1. Найдите координату точки, принадлежащей и не принадлежащей данной прямой:

1) $\frac{x-1}{3}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-2}{5}$;

2) $\frac{x}{4}=\frac{y-3}{-2}=\frac{z+1}{7}$;

3) $\begin{cases} x=2+4t, \\ y=-1+t, \\ z=1-t; \end{cases}$

4) $\begin{cases} x=-1+t, \\ y=3+2t, \\ z=2-2t. \end{cases}$

1) Дана прямая, заданная каноническим уравнением $ \frac{x-1}{3} = \frac{y+2}{1} = \frac{z-2}{5} $.

Точка, принадлежащая прямой:

Каноническое уравнение прямой имеет вид $ \frac{x-x_0}{a} = \frac{y-y_0}{b} = \frac{z-z_0}{c} $, где точка $ M_0(x_0, y_0, z_0) $ является точкой, лежащей на прямой. Из уравнения нашей прямой видно, что $ x_0=1 $, $ y_0=-2 $, $ z_0=2 $. Следовательно, точка с координатами $ (1, -2, 2) $ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Чтобы найти точку, не принадлежащую прямой, нужно выбрать такие координаты $ (x, y, z) $, которые не удовлетворяют уравнению. Возьмем, к примеру, точку с координатами $ (0, 0, 0) $ и подставим их в уравнение прямой: $ \frac{0-1}{3} = \frac{0+2}{1} = \frac{0-2}{5} $. Получаем $ -\frac{1}{3} = 2 = -\frac{2}{5} $. Полученные равенства неверны, следовательно, точка $ (0, 0, 0) $ не принадлежит данной прямой.

Ответ: точка, принадлежащая прямой: $ (1, -2, 2) $; точка, не принадлежащая прямой: $ (0, 0, 0) $.

2) Дана прямая, заданная каноническим уравнением $ \frac{x}{4} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z+1}{7} $.

Точка, принадлежащая прямой:

Уравнение можно переписать в стандартном виде $ \frac{x-0}{4} = \frac{y-3}{-2} = \frac{z-(-1)}{7} $. Из этого вида мы можем сразу определить одну из точек прямой: $ M_0(x_0, y_0, z_0) $. В данном случае $ x_0=0 $, $ y_0=3 $, $ z_0=-1 $. Таким образом, точка с координатами $ (0, 3, -1) $ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Возьмем произвольную точку, например, $ (1, 1, 1) $, и проверим, удовлетворяют ли ее координаты уравнению прямой. Подставим $ x=1, y=1, z=1 $: $ \frac{1}{4} = \frac{1-3}{-2} = \frac{1+1}{7} $. Получаем $ \frac{1}{4} = \frac{-2}{-2} = \frac{2}{7} $, что равносильно $ \frac{1}{4} = 1 = \frac{2}{7} $. Равенства не выполняются, значит, точка $ (1, 1, 1) $ не лежит на данной прямой.

Ответ: точка, принадлежащая прямой: $ (0, 3, -1) $; точка, не принадлежащая прямой: $ (1, 1, 1) $.

3) Дана прямая, заданная параметрическими уравнениями $ x = 2 + 4t, y = -1 + t, z = 1 - t $.

Точка, принадлежащая прямой:

Чтобы найти координаты точки, принадлежащей прямой, достаточно выбрать любое значение параметра $ t $ и подставить его в уравнения. Возьмем, например, $ t=0 $. Получим: $ x = 2 + 4(0) = 2 $, $ y = -1 + 0 = -1 $, $ z = 1 - 0 = 1 $. Следовательно, точка с координатами $ (2, -1, 1) $ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Чтобы найти точку, не принадлежащую прямой, нужно выбрать точку и проверить, существует ли для нее такое значение параметра $ t $, которое удовлетворяло бы всем трем уравнениям одновременно. Возьмем точку $ (0, 0, 0) $ и подставим ее координаты в уравнения: $ 0 = 2 + 4t $, $ 0 = -1 + t $, $ 0 = 1 - t $. Из второго уравнения получаем $ t=1 $. Из третьего уравнения также получаем $ t=1 $. Однако, подставив $ t=1 $ в первое уравнение, получим $ 0 = 2 + 4(1) $, то есть $ 0=6 $, что неверно. Так как не существует единого значения $ t $, удовлетворяющего всем трем уравнениям, точка $ (0, 0, 0) $ не принадлежит данной прямой.

Ответ: точка, принадлежащая прямой: $ (2, -1, 1) $; точка, не принадлежащая прямой: $ (0, 0, 0) $.

4) Дана прямая, заданная параметрическими уравнениями $ x = -1 + t, y = 3 + 2t, z = 2 - 2t $.

Точка, принадлежащая прямой:

Выберем произвольное значение параметра $ t $, например, $ t=0 $. Подставим его в уравнения прямой: $ x = -1 + 0 = -1 $, $ y = 3 + 2(0) = 3 $, $ z = 2 - 2(0) = 2 $. Таким образом, точка с координатами $ (-1, 3, 2) $ принадлежит данной прямой.

Точка, не принадлежащая прямой:

Проверим, принадлежит ли начало координат, точка $ (0, 0, 0) $, данной прямой. Для этого подставим ее координаты в параметрические уравнения: $ 0 = -1 + t $, $ 0 = 3 + 2t $, $ 0 = 2 - 2t $. Из первого уравнения находим $ t=1 $. Из второго уравнения находим $ 2t = -3 $, то есть $ t = -3/2 $. Так как мы получили разные значения параметра $ t $ для одной и той же точки, это означает, что не существует такого $ t $, при котором точка $ (0, 0, 0) $ удовлетворяла бы всем уравнениям. Следовательно, точка $ (0, 0, 0) $ не принадлежит данной прямой.

Ответ: точка, принадлежащая прямой: $ (-1, 3, 2) $; точка, не принадлежащая прямой: $ (0, 0, 0) $.