Работа в группе, страница 56 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

Работа в группе

Выполните следующее задание.

1) С помощью векторов $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ и формулы (1) найдите координаты вектора $\vec{n}$. 2) Найдите скалярные произведения $\vec{n} \cdot \vec{p_1}$ и $\vec{n} \cdot \vec{p_2}$. 3) Результаты обсудите вместе с классом и сделайте выводы. Всегда ли верны утверждения $\vec{n} \perp \vec{p_1}$ и $\vec{n} \perp \vec{p_2}$? 4) Существует ли плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ и параллельная векторам $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$? Если существует, то будет ли эта плоскость единственной? 4) Объясните, как можно написать уравнение этой плоскости $\alpha$ и напишите его. Здесь векторы $\vec{p_1}$ и $\vec{p_2}$ называются направляющими векторами плоскости $\alpha$.

$\vec{p_1}(1; 2; -1)$, $\vec{p_2}(3; -2; 1)$, $M_0(2; 0; 1)$

$\vec{p_1}(1; 2; 3)$, $\vec{p_2}(-1; 3; 2)$, $M_0(2; -4; 1)$

$\vec{p_1}(2; 4; 1)$, $\vec{p_2}(1; 2; -3)$, $M_0(3; 1; 4)$

$\vec{p_1}(2; 5; -3)$, $\vec{p_2}(4; 1; 1)$, $M_0(0; 3; 1)$

В общем случае векторы $\vec{p_1}(m_1; n_1; k_1)$ и $\vec{p_2}(m_2; n_2; k_2)$ перпендикулярны вектору $\vec{n}$, определяемого формулой (5) (рис. 2.3).

Итак, если плоскость проходит через точку $M_0(x_0; y_0; z_0)$ параллельно векторам $\vec{p_1}(m_1; n_1; k_1)$ и $\vec{p_2}(m_2; n_2; k_2)$, то ее уравнение записывается так: $a(x - x_0) + b(y - y_0) + c(z - z_0) = 0$, (6) где $\begin{cases} a = n_1k_2 - n_2k_1, \\ b = k_1m_2 - k_2m_1, \\ c = m_1n_2 - m_2n_1. \end{cases}$ (7)

Рис. 2.3 https://www.geogebra.org/classic/np3tbc8p

Задание 1-й группы

Даны векторы $\vec{p}_1(1; 2; -1)$, $\vec{p}_2(3; -2; 1)$ и точка $M_0(2; 0; 1)$.

1) Найдем координаты вектора нормали $\vec{n}$ к плоскости как векторное произведение направляющих векторов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$.

Обозначим $\vec{p}_1(m_1; n_1; k_1)$ и $\vec{p}_2(m_2; n_2; k_2)$. Координаты вектора $\vec{n}(a; b; c)$ вычисляются по формулам (7):

$a = n_1k_2 - n_2k_1 = 2 \cdot 1 - (-2) \cdot (-1) = 2 - 2 = 0$

$b = k_1m_2 - k_2m_1 = (-1) \cdot 3 - 1 \cdot 1 = -3 - 1 = -4$

$c = m_1n_2 - m_2n_1 = 1 \cdot (-2) - 3 \cdot 2 = -2 - 6 = -8$

Таким образом, вектор нормали $\vec{n}(0; -4; -8)$.

2) Найдем скалярные произведения $\vec{n} \cdot \vec{p}_1$ и $\vec{n} \cdot \vec{p}_2$.

$\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = 0 \cdot 1 + (-4) \cdot 2 + (-8) \cdot (-1) = 0 - 8 + 8 = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = 0 \cdot 3 + (-4) \cdot (-2) + (-8) \cdot 1 = 0 + 8 - 8 = 0$

3) Так как скалярные произведения равны нулю, это означает, что вектор $\vec{n}$ перпендикулярен векторам $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$. Утверждения $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$ верны. Это следует из определения векторного произведения: результирующий вектор всегда перпендикулярен исходным векторам.

4) Плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M_0$ и параллельная векторам $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$, существует и является единственной, так как векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ не коллинеарны (их координаты не пропорциональны: $3/1 \neq -2/2$).

5) Уравнение плоскости записывается по формуле (6): $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.

Используем $\vec{n}(0; -4; -8)$ и $M_0(2; 0; 1)$. Для упрощения можно взять коллинеарный вектор нормали, разделив координаты на -4: $\vec{n'}(0; 1; 2)$.

$0(x-2) + 1(y-0) + 2(z-1) = 0$

$y + 2z - 2 = 0$

Ответ: $\vec{n}(0; -4; -8)$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = 0$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = 0$, уравнение плоскости: $y + 2z - 2 = 0$.

Задание 2-й группы

Даны векторы $\vec{p}_1(1; 2; 3)$, $\vec{p}_2(-1; 3; 2)$ и точка $M_0(2; -4; 1)$.

1) Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2$.

$a = n_1k_2 - n_2k_1 = 2 \cdot 2 - 3 \cdot 3 = 4 - 9 = -5$

$b = k_1m_2 - k_2m_1 = 3 \cdot (-1) - 2 \cdot 1 = -3 - 2 = -5$

$c = m_1n_2 - m_2n_1 = 1 \cdot 3 - (-1) \cdot 2 = 3 + 2 = 5$

Вектор нормали $\vec{n}(-5; -5; 5)$.

2) Найдем скалярные произведения.

$\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = (-5) \cdot 1 + (-5) \cdot 2 + 5 \cdot 3 = -5 - 10 + 15 = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = (-5) \cdot (-1) + (-5) \cdot 3 + 5 \cdot 2 = 5 - 15 + 10 = 0$

3) Скалярные произведения равны нулю, следовательно, утверждения $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$ верны.

4) Векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ не коллинеарны ($-1/1 \neq 3/2$), поэтому существует единственная плоскость $\alpha$, проходящая через $M_0$ и параллельная данным векторам.

5) Составим уравнение плоскости. Используем точку $M_0(2; -4; 1)$ и упрощенный вектор нормали $\vec{n'}(1; 1; -1)$ (разделив $\vec{n}$ на -5).

$1(x-2) + 1(y-(-4)) - 1(z-1) = 0$

$x - 2 + y + 4 - z + 1 = 0$

$x + y - z + 3 = 0$

Ответ: $\vec{n}(-5; -5; 5)$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = 0$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = 0$, уравнение плоскости: $x + y - z + 3 = 0$.

Задание 3-й группы

Даны векторы $\vec{p}_1(2; 4; 1)$, $\vec{p}_2(1; 2; -3)$ и точка $M_0(3; 1; 4)$.

1) Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2$.

$a = n_1k_2 - n_2k_1 = 4 \cdot (-3) - 2 \cdot 1 = -12 - 2 = -14$

$b = k_1m_2 - k_2m_1 = 1 \cdot 1 - (-3) \cdot 2 = 1 + 6 = 7$

$c = m_1n_2 - m_2n_1 = 2 \cdot 2 - 1 \cdot 4 = 4 - 4 = 0$

Вектор нормали $\vec{n}(-14; 7; 0)$.

2) Найдем скалярные произведения.

$\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = (-14) \cdot 2 + 7 \cdot 4 + 0 \cdot 1 = -28 + 28 + 0 = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = (-14) \cdot 1 + 7 \cdot 2 + 0 \cdot (-3) = -14 + 14 + 0 = 0$

3) Скалярные произведения равны нулю, утверждения $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$ верны.

4) Векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ не коллинеарны ($1/2 = 2/4 \neq -3/1$), поэтому существует единственная плоскость $\alpha$, проходящая через $M_0$ и параллельная данным векторам.

5) Составим уравнение плоскости. Используем точку $M_0(3; 1; 4)$ и упрощенный вектор нормали $\vec{n'}(2; -1; 0)$ (разделив $\vec{n}$ на -7).

$2(x-3) - 1(y-1) + 0(z-4) = 0$

$2x - 6 - y + 1 = 0$

$2x - y - 5 = 0$

Ответ: $\vec{n}(-14; 7; 0)$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = 0$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = 0$, уравнение плоскости: $2x - y - 5 = 0$.

Задание 4-й группы

Даны векторы $\vec{p}_1(2; 5; -3)$, $\vec{p}_2(4; 1; 1)$ и точка $M_0(0; 3; 1)$.

1) Найдем координаты вектора нормали $\vec{n} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2$.

$a = n_1k_2 - n_2k_1 = 5 \cdot 1 - 1 \cdot (-3) = 5 + 3 = 8$

$b = k_1m_2 - k_2m_1 = (-3) \cdot 4 - 1 \cdot 2 = -12 - 2 = -14$

$c = m_1n_2 - m_2n_1 = 2 \cdot 1 - 4 \cdot 5 = 2 - 20 = -18$

Вектор нормали $\vec{n}(8; -14; -18)$.

2) Найдем скалярные произведения.

$\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = 8 \cdot 2 + (-14) \cdot 5 + (-18) \cdot (-3) = 16 - 70 + 54 = 0$

$\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = 8 \cdot 4 + (-14) \cdot 1 + (-18) \cdot 1 = 32 - 14 - 18 = 0$

3) Скалярные произведения равны нулю, утверждения $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$ верны.

4) Векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ не коллинеарны ($4/2 \neq 1/5$), поэтому существует единственная плоскость $\alpha$, проходящая через $M_0$ и параллельная данным векторам.

5) Составим уравнение плоскости. Используем точку $M_0(0; 3; 1)$ и упрощенный вектор нормали $\vec{n'}(4; -7; -9)$ (разделив $\vec{n}$ на 2).

$4(x-0) - 7(y-3) - 9(z-1) = 0$

$4x - 7y + 21 - 9z + 9 = 0$

$4x - 7y - 9z + 30 = 0$

Ответ: $\vec{n}(8; -14; -18)$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_1 = 0$, $\vec{n} \cdot \vec{p}_2 = 0$, уравнение плоскости: $4x - 7y - 9z + 30 = 0$.

Общие выводы по заданию

3) Результаты обсудите вместе с классом и сделайте выводы. Всегда ли верны утверждения $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$?

Да, утверждения $\vec{n} \perp \vec{p}_1$ и $\vec{n} \perp \vec{p}_2$ верны всегда, когда векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ не коллинеарны. Вектор $\vec{n}$ находится как векторное произведение векторов $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$. По определению векторного произведения, результирующий вектор ортогонален (перпендикулярен) каждому из исходных векторов. Во всех четырех заданиях скалярное произведение $\vec{n}$ на $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ равно нулю, что доказывает их перпендикулярность.

4) Существует ли плоскость $\alpha$, проходящая через точку $M_0$ и параллельная векторам $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$? Если существует, то будет ли эта плоскость единственной?

Да, такая плоскость существует и она единственна при условии, что направляющие векторы $\vec{p}_1$ и $\vec{p}_2$ не коллинеарны (т.е. не лежат на одной прямой). Точка и два неколлинеарных вектора однозначно определяют плоскость в пространстве. Во всех четырех вариантах задания векторы были неколлинеарны, поэтому плоскость существовала и была единственной.

4) Объясните, как можно написать уравнение этой плоскости $\alpha$ и напишите его.

Чтобы написать уравнение плоскости, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти вектор нормали $\vec{n}(a, b, c)$ к плоскости. Он вычисляется как векторное произведение направляющих векторов $\vec{n} = \vec{p}_1 \times \vec{p}_2$, используя формулы (7).

2. Взять координаты данной точки $M_0(x_0, y_0, z_0)$, через которую проходит плоскость.

3. Подставить найденные значения $a, b, c$ и $x_0, y_0, z_0$ в общее уравнение плоскости, проходящей через точку: $a(x-x_0) + b(y-y_0) + c(z-z_0) = 0$.

4. Раскрыть скобки и упростить выражение, чтобы получить уравнение плоскости в виде $Ax + By + Cz + D = 0$.

Уравнения для каждого из четырех заданий были написаны выше.