Номер 1.156, страница 51 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.156. Основанием параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ является квадрат со стороной $\text{a}$, а боковое ребро равно $\text{b}$. Отрезок $AA_1$ составляет равные углы $\phi$ с ребрами, имеющими с ним общую вершину. Найдите площадь диагонального сечения параллелепипеда.

Пусть дан параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Основание $ABCD$ — квадрат со стороной $a$, то есть $AB = AD = a$ и $\angle{BAD} = 90^\circ$. Боковое ребро $AA_1 = b$. По условию, боковое ребро $AA_1$ составляет равные углы $\phi$ с ребрами $AB$ и $AD$, выходящими из той же вершины $A$. То есть $\angle{A_1AB} = \angle{A_1AD} = \phi$.

Диагональными сечениями параллелепипеда являются параллелограммы $ACC_1A_1$ и $BDD_1B_1$. Найдем их площади. Для решения задачи удобно использовать векторный метод.

Введем векторы, соответствующие ребрам, выходящим из вершины $A$: $\vec{u} = \vec{AB}$, $\vec{v} = \vec{AD}$, $\vec{w} = \vec{AA_1}$. Из условия задачи имеем: $|\vec{u}| = |\vec{v}| = a$, $|\vec{w}| = b$. Поскольку основание — квадрат, векторы $\vec{u}$ и $\vec{v}$ ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю: $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$. Углы между боковым ребром и ребрами основания равны $\phi$, что в терминах скалярного произведения означает: $\vec{u} \cdot \vec{w} = |\vec{u}||\vec{w}|\cos\phi = ab\cos\phi$. $\vec{v} \cdot \vec{w} = |\vec{v}||\vec{w}|\cos\phi = ab\cos\phi$.

Найдем площадь первого диагонального сечения $ACC_1A_1$. Этот параллелограмм построен на векторах $\vec{AC}$ и $\vec{AA_1}$. Вектор диагонали основания $\vec{AC}$ является суммой векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AD}$: $\vec{AC} = \vec{u} + \vec{v}$. Вектор бокового ребра $\vec{AA_1} = \vec{w}$. Площадь параллелограмма $S_{ACC_1A_1}$ равна модулю векторного произведения этих векторов: $S_{ACC_1A_1} = |(\vec{u}+\vec{v}) \times \vec{w}|$. Для нахождения модуля векторного произведения воспользуемся свойством $| \vec{X} \times \vec{Y} |^2 = |\vec{X}|^2|\vec{Y}|^2 - (\vec{X} \cdot \vec{Y})^2$. В данном случае $\vec{X} = \vec{u}+\vec{v}$ и $\vec{Y} = \vec{w}$. Вычислим квадраты длин и скалярное произведение: $|\vec{u}+\vec{v}|^2 = (\vec{u}+\vec{v}) \cdot (\vec{u}+\vec{v}) = |\vec{u}|^2 + 2(\vec{u}\cdot\vec{v}) + |\vec{v}|^2 = a^2 + 2(0) + a^2 = 2a^2$. $|\vec{w}|^2 = b^2$. $(\vec{u}+\vec{v}) \cdot \vec{w} = \vec{u}\cdot\vec{w} + \vec{v}\cdot\vec{w} = ab\cos\phi + ab\cos\phi = 2ab\cos\phi$. Квадрат площади сечения $ACC_1A_1$ равен: $S_{ACC_1A_1}^2 = (2a^2)(b^2) - (2ab\cos\phi)^2 = 2a^2b^2 - 4a^2b^2\cos^2\phi = 2a^2b^2(1 - 2\cos^2\phi)$. Поскольку площадь не может быть мнимой, должно выполняться условие $1 - 2\cos^2\phi \ge 0$, что означает $\cos^2\phi \le 1/2$. Это соответствует диапазону углов $\pi/4 \le \phi \le 3\pi/4$. Площадь сечения $ACC_1A_1$ равна: $S_{ACC_1A_1} = \sqrt{2a^2b^2(1 - 2\cos^2\phi)} = ab\sqrt{2(1 - 2\cos^2\phi)}$. Используя формулу двойного угла $\cos(2\phi) = 2\cos^2\phi - 1$, это можно записать как $S_{ACC_1A_1} = ab\sqrt{-2\cos(2\phi)}$.

Теперь найдем площадь второго диагонального сечения $BDD_1B_1$. Этот параллелограмм построен на векторах $\vec{BD}$ и $\vec{BB_1}$. Вектор диагонали основания $\vec{BD}$ является разностью векторов $\vec{AD}$ и $\vec{AB}$: $\vec{BD} = \vec{v} - \vec{u}$. Вектор бокового ребра $\vec{BB_1}$ равен вектору $\vec{AA_1}$: $\vec{BB_1} = \vec{w}$. Площадь параллелограмма $S_{BDD_1B_1}$ равна модулю векторного произведения этих векторов: $S_{BDD_1B_1} = |(\vec{v}-\vec{u}) \times \vec{w}|$. Снова используем формулу для квадрата модуля векторного произведения. Вычислим необходимые величины: $|\vec{v}-\vec{u}|^2 = (\vec{v}-\vec{u}) \cdot (\vec{v}-\vec{u}) = |\vec{v}|^2 - 2(\vec{v}\cdot\vec{u}) + |\vec{u}|^2 = a^2 - 2(0) + a^2 = 2a^2$. $(\vec{v}-\vec{u}) \cdot \vec{w} = \vec{v}\cdot\vec{w} - \vec{u}\cdot\vec{w} = ab\cos\phi - ab\cos\phi = 0$. Квадрат площади сечения $BDD_1B_1$ равен: $S_{BDD_1B_1}^2 = |\vec{v}-\vec{u}|^2 |\vec{w}|^2 - ((\vec{v}-\vec{u}) \cdot \vec{w})^2 = (2a^2)(b^2) - 0^2 = 2a^2b^2$. Площадь сечения $BDD_1B_1$ равна: $S_{BDD_1B_1} = \sqrt{2a^2b^2} = ab\sqrt{2}$.

Таким образом, параллелепипед имеет два диагональных сечения с разными площадями.

Ответ: площади диагональных сечений параллелепипеда равны $ab\sqrt{2}$ и $ab\sqrt{2(1 - 2\cos^2\phi)}$ (или, что то же самое, $ab\sqrt{-2\cos(2\phi)}$).