Номер 1.155, страница 50 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.155. В правильной пирамиде $SABC$ дано: $AS = b$, $\angle ASB = 90^\circ$, $\triangle ABC$ – равносторонний, точка $\text{K}$ делит ребро $\text{BC}$ в отношении $1:2$, т.е $BK : KC = 1 : 2$. Найдите площадь $\triangle ASK$ (рис. 1.68).

Рис. 1.68

Поскольку пирамида SABC является правильной, ее основание, треугольник ABC, является равносторонним, а все боковые ребра равны между собой. По условию, $AS = b$, следовательно, $BS = CS = b$. Боковые грани (треугольники ASB, BSC, CSA) являются равными равнобедренными треугольниками.

Рассмотрим боковую грань ASB. По условию $\angle ASB = 90^\circ$. Так как $AS = BS = b$, треугольник ASB является равнобедренным прямоугольным треугольником. Длину стороны основания AB найдем по теореме Пифагора: $AB^2 = AS^2 + BS^2 = b^2 + b^2 = 2b^2$ $AB = \sqrt{2b^2} = b\sqrt{2}$.

Так как основание пирамиды, треугольник ABC, является равносторонним, то все его стороны равны: $AB = BC = CA = b\sqrt{2}$. Все углы в треугольнике ABC равны $60^\circ$.

Точка K делит ребро BC в отношении $BK : KC = 1 : 2$. Вычислим длины отрезков BK и KC: $BC = BK + KC = BK + 2BK = 3BK$. Отсюда, $BK = \frac{1}{3}BC = \frac{b\sqrt{2}}{3}$. Соответственно, $KC = \frac{2}{3}BC = \frac{2b\sqrt{2}}{3}$.

Для того чтобы найти площадь треугольника ASK, нам нужно знать длины его сторон. Сторона $AS = b$ дана по условию.

Найдем длину стороны AK. Для этого рассмотрим треугольник ABK. В нем известны две стороны ($AB = b\sqrt{2}$, $BK = \frac{b\sqrt{2}}{3}$) и угол между ними ($\angle ABC = 60^\circ$). Применим теорему косинусов: $AK^2 = AB^2 + BK^2 - 2 \cdot AB \cdot BK \cdot \cos(60^\circ)$ $AK^2 = (b\sqrt{2})^2 + \left(\frac{b\sqrt{2}}{3}\right)^2 - 2 \cdot b\sqrt{2} \cdot \frac{b\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{1}{2}$ $AK^2 = 2b^2 + \frac{2b^2}{9} - \frac{2b^2}{3} = \frac{18b^2 + 2b^2 - 6b^2}{9} = \frac{14b^2}{9}$ $AK = \sqrt{\frac{14b^2}{9}} = \frac{b\sqrt{14}}{3}$.

Найдем длину стороны SK. Так как боковые грани правильной пирамиды равны, треугольник SBC также является равнобедренным прямоугольным треугольником ($\angle BSC = 90^\circ$, $SB=SC=b$). Углы при основании этого треугольника равны $\angle SBC = \angle SCB = \frac{180^\circ - 90^\circ}{2} = 45^\circ$. Рассмотрим треугольник SBK. В нем известны две стороны ($SB = b$, $BK = \frac{b\sqrt{2}}{3}$) и угол между ними ($\angle SBK = 45^\circ$). Применим теорему косинусов: $SK^2 = SB^2 + BK^2 - 2 \cdot SB \cdot BK \cdot \cos(45^\circ)$ $SK^2 = b^2 + \left(\frac{b\sqrt{2}}{3}\right)^2 - 2 \cdot b \cdot \frac{b\sqrt{2}}{3} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$ $SK^2 = b^2 + \frac{2b^2}{9} - \frac{2b^2}{3} = \frac{9b^2 + 2b^2 - 6b^2}{9} = \frac{5b^2}{9}$ $SK = \sqrt{\frac{5b^2}{9}} = \frac{b\sqrt{5}}{3}$.

Теперь мы знаем длины всех трех сторон треугольника ASK: $AS = b$, $AK = \frac{b\sqrt{14}}{3}$ и $SK = \frac{b\sqrt{5}}{3}$. Прежде чем вычислять площадь, проверим, не является ли этот треугольник прямоугольным. Для этого используем обратную теорему Пифагора. Сравним квадрат наибольшей стороны $AK^2$ с суммой квадратов двух других сторон $AS^2 + SK^2$: $AS^2 + SK^2 = b^2 + \left(\frac{b\sqrt{5}}{3}\right)^2 = b^2 + \frac{5b^2}{9} = \frac{9b^2 + 5b^2}{9} = \frac{14b^2}{9}$. $AK^2 = \left(\frac{b\sqrt{14}}{3}\right)^2 = \frac{14b^2}{9}$. Поскольку $AK^2 = AS^2 + SK^2$, мы заключаем, что треугольник ASK является прямоугольным, и его прямой угол — это $\angle ASK = 90^\circ$.

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов. В нашем случае катеты это AS и SK. $S_{ASK} = \frac{1}{2} \cdot AS \cdot SK = \frac{1}{2} \cdot b \cdot \frac{b\sqrt{5}}{3} = \frac{b^2\sqrt{5}}{6}$.

Ответ: $\frac{b^2\sqrt{5}}{6}$.