Номер 1.149, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.149. Найдите двугранный угол $\angle QKP = \varphi$ октаэдра (рис. 1.66).

Рис. 1.66

Октаэдр — это правильный многогранник, все грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Двугранный угол правильного октаэдра — это угол между любыми двумя его смежными гранями. Пусть ребро октаэдра имеет длину $a$.

Рассмотрим двугранный угол между гранями $QAB$ и $PAB$. Их общее ребро — $AB$. В задаче предлагается найти угол $\angle QKP = \phi$. Это линейный угол двугранного угла, образованный высотами, проведенными к общему ребру. Точка $K$ — середина ребра $AB$.

Так как грань $QAB$ — равносторонний треугольник со стороной $a$, то его медиана $QK$ является также и высотой. Следовательно, $QK \perp AB$. Длина высоты в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, поэтому $QK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Аналогично, для грани $PAB$, которая также является равносторонним треугольником, медиана $PK$ является высотой ($PK \perp AB$) и ее длина $PK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Поскольку отрезки $QK$ и $PK$ перпендикулярны общему ребру $AB$ в одной и той же точке $K$, угол $\angle QKP = \phi$ является линейным углом искомого двугранного угла.

Для нахождения этого угла рассмотрим равнобедренный треугольник $QKP$, в котором $QK = PK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Найдем длину основания $QP$. Отрезок $QP$ соединяет две противоположные вершины октаэдра и проходит через его центр $O$. Квадрат $ABCD$ лежит в плоскости, перпендикулярной отрезку $QP$ и проходящей через его середину $O$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $QOA$, где $O$ — центр квадрата $ABCD$. Катет $OA$ равен половине диагонали квадрата $ABCD$. Диагональ $AC = \sqrt{AB^2+BC^2} = \sqrt{a^2+a^2} = a\sqrt{2}$, поэтому $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$. Гипотенуза $QA$ является ребром октаэдра, $QA = a$. По теореме Пифагора найдем катет $QO$: $QO^2 = QA^2 - OA^2 = a^2 - \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2 - \frac{2a^2}{4} = a^2 - \frac{a^2}{2} = \frac{a^2}{2}$. Отсюда $QO = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Длина всего отрезка $QP$ равна удвоенной длине $QO$: $QP = 2 \cdot QO = 2 \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} = a\sqrt{2}$.

Теперь, зная все стороны треугольника $QKP$ ($QK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $PK = \frac{a\sqrt{3}}{2}$, $QP = a\sqrt{2}$), применим к нему теорему косинусов для нахождения угла $\phi = \angle QKP$: $QP^2 = QK^2 + PK^2 - 2 \cdot QK \cdot PK \cdot \cos(\phi)$

Подставим известные значения: $(a\sqrt{2})^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a\sqrt{3}}{2} \cdot \cos(\phi)$ $2a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\phi)$ $2a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\phi)$ $2a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cos(\phi)$

Разделим обе части уравнения на $a^2$ (при $a \neq 0$): $2 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cos(\phi)$ $2 - \frac{3}{2} = -\frac{3}{2} \cos(\phi)$ $\frac{1}{2} = -\frac{3}{2} \cos(\phi)$ $\cos(\phi) = -\frac{1}{3}$

Следовательно, искомый двугранный угол равен $\phi = \arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(-\frac{1}{3}\right)$.