Номер 1.145, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.145. Ребро куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равно $\text{a}$. Постройте сечение куба, проходящее через середины ребер $\text{AB}$, $\text{AD}$, $B_1C_1$ и $C_1D_1$. Найдите площадь этого сечения.

Построение сечения

Обозначим середины ребер: $K$ — середина $AB$, $L$ — середина $AD$, $M$ — середина $B_1C_1$ и $N$ — середина $C_1D_1$.

Для построения сечения и нахождения его площади введем декартову систему координат. Поместим начало координат в вершину $A$ куба, а оси $Ox$, $Oy$ и $Oz$ направим вдоль ребер $AB$, $AD$ и $AA_1$ соответственно. Так как ребро куба равно $a$, вершины куба будут иметь следующие координаты: $A(0,0,0)$, $B(a,0,0)$, $D(0,a,0)$, $A_1(0,0,a)$, $C(a,a,0)$, $B_1(a,0,a)$, $D_1(0,a,a)$, $C_1(a,a,a)$.

Найдем координаты заданных точек, являющихся серединами ребер:

• $K$ — середина $AB$, имеет координаты $K(\frac{a}{2}, 0, 0)$.
• $L$ — середина $AD$, имеет координаты $L(0, \frac{a}{2}, 0)$.
• $M$ — середина $B_1C_1$, имеет координаты $M(a, \frac{a}{2}, a)$.
• $N$ — середина $C_1D_1$, имеет координаты $N(\frac{a}{2}, a, a)$.

Секущая плоскость проходит через эти четыре точки. Уравнение плоскости в общем виде $Ax+By+Cz+D=0$. Подставив координаты трех точек (например, $K, L, M$), можно составить и решить систему уравнений для нахождения коэффициентов. В результате получим уравнение плоскости: $2x+2y-2z-a=0$ или $x+y-z=\frac{a}{2}$.

Проверим, лежит ли точка $N(\frac{a}{2}, a, a)$ в этой плоскости: $\frac{a}{2} + a - a = \frac{a}{2}$. Равенство верное, значит, все четыре точки лежат в одной плоскости.

Чтобы построить сечение, найдем точки пересечения этой плоскости с ребрами куба. Вершины сечения — это точки, в которых плоскость $x+y-z=\frac{a}{2}$ пересекает ребра куба (при условии, что координаты точек лежат в диапазоне от $0$ до $a$).

• Ребро $AB$ ($y=0, z=0$): $x=\frac{a}{2}$. Это точка $K(\frac{a}{2}, 0, 0)$.
• Ребро $AD$ ($x=0, z=0$): $y=\frac{a}{2}$. Это точка $L(0, \frac{a}{2}, 0)$.
• Ребро $B_1C_1$ ($x=a, z=a$): $a+y-a=\frac{a}{2} \Rightarrow y=\frac{a}{2}$. Это точка $M(a, \frac{a}{2}, a)$.
• Ребро $C_1D_1$ ($y=a, z=a$): $x+a-a=\frac{a}{2} \Rightarrow x=\frac{a}{2}$. Это точка $N(\frac{a}{2}, a, a)$.
• Ребро $BB_1$ ($x=a, y=0$): $a+0-z=\frac{a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{2}$. Обозначим эту точку $P_1(a, 0, \frac{a}{2})$. Эта точка является серединой ребра $BB_1$.
• Ребро $DD_1$ ($x=0, y=a$): $0+a-z=\frac{a}{2} \Rightarrow z=\frac{a}{2}$. Обозначим эту точку $P_2(0, a, \frac{a}{2})$. Эта точка является серединой ребра $DD_1$.

Пересечений с другими ребрами в пределах куба нет. Таким образом, сечение является шестиугольником с вершинами $K, L, P_2, N, M, P_1$.

Нахождение площади этого сечения

Чтобы найти площадь шестиугольника $KLP_2NMP_1$, определим его вид. Для этого найдем длины его сторон, используя координаты вершин.

• $|KL| = \sqrt{(\frac{a}{2}-0)^2 + (0-\frac{a}{2})^2 + (0-0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• $|LP_2| = \sqrt{(0-0)^2 + (a-\frac{a}{2})^2 + (\frac{a}{2}-0)^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.
• $|P_2N| = \sqrt{(\frac{a}{2}-0)^2 + (a-a)^2 + (a-\frac{a}{2})^2} = \sqrt{\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4}} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

В силу симметрии, можно утверждать, что и остальные стороны имеют ту же длину. Проверим: $|NM|=|KL|$, $|MP_1|=|LP_2|$, $|P_1K|=|P_2N|$. Все стороны шестиугольника равны $s = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Теперь найдем один из углов, например, угол $\angle KLP_2$. Он образован векторами $\vec{LK} = (\frac{a}{2}, -\frac{a}{2}, 0)$ и $\vec{LP_2} = (0, \frac{a}{2}, \frac{a}{2})$.

Найдем косинус угла между ними:

$\cos(\angle KLP_2) = \frac{\vec{LK} \cdot \vec{LP_2}}{|\vec{LK}| \cdot |\vec{LP_2}|} = \frac{(\frac{a}{2})\cdot 0 + (-\frac{a}{2})\cdot (\frac{a}{2}) + 0 \cdot (\frac{a}{2})}{(\frac{a\sqrt{2}}{2}) \cdot (\frac{a\sqrt{2}}{2})} = \frac{-\frac{a^2}{4}}{\frac{a^2}{2}} = -\frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $\angle KLP_2 = 120^\circ$.

Так как все стороны шестиугольника равны, и (как можно показать аналогично) все его внутренние углы равны $120^\circ$, сечение является правильным шестиугольником со стороной $s = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь правильного шестиугольника со стороной $s$ вычисляется по формуле $S = \frac{3\sqrt{3}}{2}s^2$.

Подставим значение стороны нашего шестиугольника:

$S = \frac{3\sqrt{3}}{2} \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{3\sqrt{3}}{2} \cdot \frac{a^2}{2} = \frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.

Ответ: Площадь сечения равна $\frac{3\sqrt{3}a^2}{4}$.