Номер 1.148, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.148. Найдите двугранный угол тетраэдра.

Поскольку в условии не указан конкретный тип тетраэдра, по умолчанию будем рассматривать правильный тетраэдр. Правильный тетраэдр — это многогранник, у которого все грани являются равными равносторонними треугольниками. Вследствие симметрии, все двугранные углы в правильном тетраэдре равны между собой.

Пусть дан правильный тетраэдр $ABCD$ с длиной ребра, равной $a$. Найдем двугранный угол при ребре $BC$, который представляет собой угол между плоскостями граней $ABC$ и $DBC$.

Для измерения этого угла построим его линейный угол. Для этого проведем в гранях $ABC$ и $DBC$ высоты к их общему ребру $BC$. Пусть $M$ — середина ребра $BC$.

1. В равностороннем треугольнике $ABC$ отрезок $AM$ является медианой и, следовательно, высотой. Таким образом, $AM \perp BC$.

2. Аналогично, в равностороннем треугольнике $DBC$ отрезок $DM$ является медианой и высотой, поэтому $DM \perp BC$.

По определению, угол $AMD$ является линейным углом двугранного угла между гранями $ABC$ и $DBC$. Обозначим величину этого угла как $\alpha$.

Рассмотрим треугольник $AMD$ и найдем длины его сторон, чтобы вычислить угол $\alpha$.

- Стороны $AM$ и $DM$ являются высотами в равносторонних треугольниках со стороной $a$. Длина высоты равностороннего треугольника вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. Следовательно, $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$.

- Сторона $AD$ является ребром тетраэдра, поэтому ее длина равна $a$.

Таким образом, треугольник $AMD$ является равнобедренным со сторонами $AM = DM = \frac{a\sqrt{3}}{2}$ и основанием $AD = a$.

Применим к треугольнику $AMD$ теорему косинусов для нахождения угла $\alpha = \angle AMD$:

$AD^2 = AM^2 + DM^2 - 2 \cdot AM \cdot DM \cdot \cos(\alpha)$

Подставим известные значения длин сторон:

$a^2 = \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 + \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)^2 - 2 \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \left(\frac{a\sqrt{3}}{2}\right) \cdot \cos(\alpha)$

Выполним алгебраические преобразования:

$a^2 = \frac{3a^2}{4} + \frac{3a^2}{4} - 2 \cdot \frac{3a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{6a^2}{4} - \frac{6a^2}{4} \cdot \cos(\alpha)$

$a^2 = \frac{3a^2}{2} - \frac{3a^2}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Поскольку длина ребра $a \neq 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $a^2$:

$1 = \frac{3}{2} - \frac{3}{2} \cdot \cos(\alpha)$

Теперь выразим $\cos(\alpha)$:

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{3}{2} - 1$

$\frac{3}{2} \cos(\alpha) = \frac{1}{2}$

$\cos(\alpha) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{3} = \frac{1}{3}$

Искомый двугранный угол $\alpha$ равен арккосинусу этого значения:

$\alpha = \arccos\left(\frac{1}{3}\right)$

Ответ: Двугранный угол правильного тетраэдра равен $\arccos\left(\frac{1}{3}\right)$.