Номер 1.143, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.143. Через середины смежных сторон основания перпендикулярно его плоскости проведено сечение правильной четырехугольной пирамиды. Найдите площадь этого сечения, если высота пирамиды равна $\text{h}$, а боковое ребро $\text{b}$, $(b>h)$.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида $SABCD$, где $ABCD$ – квадрат в основании, а $S$ – вершина. Пусть $O$ – центр основания (точка пересечения диагоналей квадрата). Тогда $SO$ – высота пирамиды, и по условию $SO = h$. Боковое ребро пирамиды равно $b$, то есть $SA = SB = SC = SD = b$.

Найдем сторону основания $a$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. Катет $SO = h$, гипотенуза $SA = b$. Катет $OA$ – это половина диагонали квадрата $AC$. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$, поэтому $OA = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

По теореме Пифагора для треугольника $SOA$: $SO^2 + OA^2 = SA^2$.

$h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = b^2$

$h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = b^2$

$h^2 + \frac{a^2}{2} = b^2$

Отсюда выразим $a^2$:

$\frac{a^2}{2} = b^2 - h^2 \implies a^2 = 2(b^2 - h^2)$.

Сечение проведено через середины смежных сторон основания, например, $AB$ и $BC$. Обозначим эти середины как $M$ и $N$ соответственно. Секущая плоскость проходит через точки $M$ и $N$ и перпендикулярна плоскости основания $ABCD$.

Линия пересечения секущей плоскости с плоскостью основания – это прямая, проходящая через точки $M$ и $N$. Отрезок $MN$ является основанием фигуры сечения. В треугольнике $ABC$ отрезок $MN$ является средней линией, поэтому он параллелен диагонали $AC$ и равен ее половине:

$MN = \frac{1}{2} AC = \frac{1}{2} (a\sqrt{2}) = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Так как секущая плоскость перпендикулярна плоскости основания, то сечение представляет собой фигуру, которая "стоит" на отрезке $MN$. Высота сечения в каждой точке отрезка $MN$ равна высоте пирамиды над этой точкой. Верхняя граница сечения образована пересечением секущей плоскости с боковыми гранями пирамиды.

Определим форму сечения. Верхняя граница сечения является ломаной линией. Максимальная высота сечения будет над точкой отрезка $MN$, наиболее удаленной от сторон основания $AB$ и $BC$. Интуитивно и по симметрии это середина отрезка $MN$. Обозначим ее $K$.

Найдем положение точки $K$ относительно центра основания $O$. Векторно: $\vec{OK} = \frac{1}{2}(\vec{OM} + \vec{ON})$. Так как $M$ – середина $AB$ и $N$ – середина $BC$, то $\vec{OM} = \frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB})$ и $\vec{ON} = \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})$.

$\vec{OK} = \frac{1}{2}\left(\frac{1}{2}(\vec{OA} + \vec{OB}) + \frac{1}{2}(\vec{OB} + \vec{OC})\right) = \frac{1}{4}(\vec{OA} + 2\vec{OB} + \vec{OC})$.

Поскольку $O$ – центр квадрата, $\vec{OC} = -\vec{OA}$. Подставив это, получаем:

$\vec{OK} = \frac{1}{4}(\vec{OA} + 2\vec{OB} - \vec{OA}) = \frac{1}{2}\vec{OB}$.

Это означает, что точка $K$ является серединой отрезка $OB$. Высота пирамиды над точкой $K$ равна высоте точки на боковом ребре $SB$, которая проектируется в точку $K$. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через точки $S, O, B$. Это прямоугольный треугольник $SOB$. Точка $K$ лежит на катете $OB$ и является его серединой. Высота над точкой $K$ – это длина отрезка, проведенного из $K$ перпендикулярно $OB$ до пересечения с гипотенузой $SB$. Этот отрезок является средней линией треугольника $SOB$ и параллелен катету $SO$. Его длина равна половине длины $SO$:

$h_{max} = \frac{1}{2} SO = \frac{h}{2}$.

Поскольку высота сечения линейно изменяется от $0$ в точках $M$ и $N$ до $h_{max}$ в точке $K$, фигура сечения является треугольником с основанием $MN$ и высотой $h_{max}$.

Площадь этого треугольника равна:

$S = \frac{1}{2} \cdot MN \cdot h_{max} = \frac{1}{2} \cdot \frac{a\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{h}{2} = \frac{ah\sqrt{2}}{8}$.

Теперь подставим выражение для $a$ через $b$ и $h$. Из $a^2 = 2(b^2 - h^2)$ следует $a = \sqrt{2(b^2-h^2)}$.

$S = \frac{\sqrt{2(b^2-h^2)} \cdot h\sqrt{2}}{8} = \frac{\sqrt{2}\sqrt{b^2-h^2} \cdot h\sqrt{2}}{8} = \frac{2h\sqrt{b^2-h^2}}{8} = \frac{h\sqrt{b^2-h^2}}{4}$.

Ответ: $S = \frac{h\sqrt{b^2-h^2}}{4}$.