Номер 1.137, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.137. Постройте сечение правильной четырехугольной пирамиды SABCD, если секущая плоскость проходит через ребро AB и середину ребра SC. Найдите площадь этого сечения, если $AB=SA=4 \text{ см}$.

Построение сечения

1. Обозначим секущую плоскость как $\alpha$. По условию, ребро $AB$ принадлежит плоскости $\alpha$, то есть точки $A$ и $B$ принадлежат сечению. Соединяем их, получая сторону сечения $AB$.

2. Пусть точка $M$ — середина ребра $SC$. Точка $M$ также принадлежит плоскости $\alpha$.

3. Так как пирамида $SABCD$ правильная, ее основание $ABCD$ — квадрат. В квадрате противоположные стороны параллельны, следовательно, $AB \parallel CD$.

4. Прямая $CD$ лежит в плоскости грани $SCD$. Поскольку прямая $CD$ параллельна прямой $AB$, а прямая $AB$ лежит в секущей плоскости $\alpha$, то прямая $CD$ параллельна плоскости $\alpha$.

5. Секущая плоскость $\alpha$ пересекает плоскость грани $SCD$ (у них есть общая точка $M$). По свойству, если плоскость проходит через прямую, параллельную другой плоскости, и пересекает эту плоскость, то линия пересечения плоскостей параллельна данной прямой. В нашем случае, линия пересечения плоскости $\alpha$ и плоскости $(SCD)$ будет параллельна прямой $CD$ (и, соответственно, прямой $AB$).

6. Проведем в плоскости грани $SCD$ через точку $M$ прямую, параллельную $CD$. Эта прямая пересечет ребро $SD$ в некоторой точке $N$. Таким образом, получаем отрезок $MN$ — еще одну сторону сечения, причем $MN \parallel CD \parallel AB$.

7. Поскольку $MN \parallel CD$ и $M$ — середина $SC$, по теореме Фалеса (или как средняя линия треугольника $SCD$) точка $N$ является серединой ребра $SD$.

8. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $M$ и $N$, получаем искомое сечение — четырехугольник $ABMN$.

Так как $AB \parallel MN$, четырехугольник $ABMN$ является трапецией.

Ответ: Искомое сечение — трапеция $ABMN$, где $M$ и $N$ — середины ребер $SC$ и $SD$ соответственно.

Нахождение площади сечения

По условию, пирамида $SABCD$ — правильная, $AB = 4$ см и $SA = 4$ см.

Так как основание — квадрат, то $AB=BC=CD=DA=4$ см.

Так как пирамида правильная, все ее боковые ребра равны: $SA=SB=SC=SD=4$ см.

Следовательно, все ребра пирамиды равны 4 см. Это означает, что все боковые грани ($SAB$, $SBC$, $SCD$, $SDA$) являются равносторонними треугольниками со стороной 4 см.

Рассмотрим трапецию $ABMN$.

1. Длина большего основания $AB = 4$ см.

2. Отрезок $MN$ является средней линией треугольника $SCD$, так как соединяет середины сторон $SC$ и $SD$. Длина средней линии равна половине длины основания, поэтому $MN = \frac{1}{2} CD = \frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ см.

3. Найдем длины боковых сторон трапеции $AN$ и $BM$.

Отрезок $AN$ является медианой в равностороннем треугольнике $SDA$. Длина медианы (которая также является высотой) в равностороннем треугольнике со стороной $a$ вычисляется по формуле $h = \frac{a\sqrt{3}}{2}$. $AN = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Аналогично, отрезок $BM$ является медианой в равностороннем треугольнике $SBC$. $BM = \frac{4\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}$ см.

Поскольку $AN=BM$, трапеция $ABMN$ является равнобокой (равнобедренной).

4. Для нахождения площади трапеции $S = \frac{a+b}{2}h$ найдем ее высоту. Проведем в трапеции высоту $NK$ из вершины $N$ к основанию $AB$. В равнобокой трапеции отрезок $AK$, отсекаемый высотой от большего основания, равен полуразности оснований: $AK = \frac{AB - MN}{2} = \frac{4-2}{2} = 1$ см.

5. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ANK$. По теореме Пифагора, $AN^2 = AK^2 + NK^2$. Высота трапеции $h = NK = \sqrt{AN^2 - AK^2}$.

$h = \sqrt{(2\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{12 - 1} = \sqrt{11}$ см.

6. Теперь можем вычислить площадь трапеции $ABMN$: $S_{ABMN} = \frac{AB + MN}{2} \cdot h = \frac{4+2}{2} \cdot \sqrt{11} = 3\sqrt{11}$ см².

Ответ: $3\sqrt{11}$ см².