Номер 1.131, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.131. Будет ли многогранник правильным, если его вершины расположены в центрах граней:

1) гексаэдра;

2) тетраэдра?

Как называется этот многогранник?

1) Рассмотрим правильный гексаэдр, также известный как куб. У него 6 граней, которые являются равными квадратами. Новый многогранник, о котором идет речь в задаче, строится путем размещения вершин в центрах этих 6 граней. Таким образом, новый многогранник будет иметь 6 вершин.

Такая операция называется построением двойственного многогранника. Двойственный многогранник к правильному многограннику также является правильным многогранником.

Для гексаэдра (куба) двойственным многогранником является октаэдр. Чтобы это показать, представим куб с центром в начале координат и ребрами, параллельными осям. Пусть длина ребра куба равна $a$. Тогда центры его граней будут иметь координаты $(\pm a/2, 0, 0)$, $(0, \pm a/2, 0)$, $(0, 0, \pm a/2)$. Эти 6 точек и будут вершинами нового многогранника.

Если соединить центры соседних граней (например, тех, что имеют общее ребро), мы получим ребра нового многогранника. Длина каждого такого ребра будет одинаковой. Например, расстояние между вершинами $(a/2, 0, 0)$ и $(0, a/2, 0)$ равно $\sqrt{(a/2)^2 + (a/2)^2} = a/\sqrt{2}$.

Гранями этого нового многогранника являются 8 равносторонних треугольников. Например, вершины с координатами $(a/2, 0, 0)$, $(0, a/2, 0)$ и $(0, 0, a/2)$ образуют одну из таких граней. Многогранник с 8 гранями в виде равносторонних треугольников, 6 вершинами и 12 ребрами является правильным октаэдром.

Поскольку правильный октаэдр является правильным многогранником (все его грани — равные правильные многоугольники, и в каждой вершине сходится одинаковое число ребер), то многогранник, полученный из гексаэдра, будет правильным.

Ответ: Да, многогранник будет правильным. Этот многогранник называется октаэдр.

2) Теперь рассмотрим правильный тетраэдр. У него 4 грани, каждая из которых является равносторонним треугольником. Вершины нового многогранника располагаются в центрах этих 4 граней.

Как и в предыдущем случае, мы строим двойственный многогранник. Правильный тетраэдр обладает уникальным свойством: он двойственен сам себе (является самодвойственным).

Это означает, что если соединить центры четырех граней правильного тетраэдра, то получится новый многогранник, который также является правильным тетраэдром, только меньшего размера и перевернутым относительно исходного.

В силу высокой симметрии правильного тетраэдра, все его грани равноудалены друг от друга, и, следовательно, центры его граней образуют вершины фигуры, у которой все расстояния между вершинами равны. Такая фигура с 4 вершинами и есть правильный тетраэдр.

Поскольку правильный тетраэдр по определению является правильным многогранником, то и в этом случае ответ на вопрос положителен.

Ответ: Да, многогранник будет правильным. Этот многогранник называется тетраэдр.