Номер 1.132, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.132. Из скольких правильных четырехугольных пирамид состоит октаэдр? Каково отношение высоты этой пирамиды к длине основания?

Из скольких правильных четырехугольных пирамид состоит октаэдр?

Правильный октаэдр — это один из пяти правильных многогранников (Платоновых тел). Он имеет 8 граней, которые являются правильными треугольниками, 12 ребер одинаковой длины и 6 вершин. Геометрически октаэдр можно представить как две одинаковые правильные четырехугольные пирамиды, соединенные своими основаниями. Общее основание этих пирамид представляет собой квадрат, который лежит в одной из плоскостей симметрии октаэдра и соединяет четыре его вершины. Две оставшиеся вершины октаэдра (расположенные по разные стороны от плоскости основания) являются вершинами этих двух пирамид. Таким образом, октаэдр состоит из двух правильных четырехугольных пирамид.

Ответ: 2.

Каково отношение высоты этой пирамиды к длине основания?

Рассмотрим одну из правильных четырехугольных пирамид, составляющих октаэдр. Пусть длина стороны ее квадратного основания равна $a$. В контексте задачи под "длиной основания" будем понимать именно сторону квадрата. Поскольку все 12 ребер правильного октаэдра равны, то боковые ребра пирамиды равны стороне ее основания. То есть, длина бокового ребра $l$ также равна $a$.

Обозначим высоту пирамиды как $h$. Высота в правильной пирамиде опускается из вершины в центр ее основания (точку пересечения диагоналей квадрата). Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный высотой пирамиды $h$ (один катет), половиной диагонали квадратного основания (второй катет) и боковым ребром пирамиды $l$ (гипотенуза).

Диагональ $d$ квадрата со стороной $a$ вычисляется по теореме Пифагора: $d^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$, откуда $d = a\sqrt{2}$. Следовательно, половина диагонали равна $\frac{d}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Применим теорему Пифагора к нашему прямоугольному треугольнику ($h^2 + (\frac{d}{2})^2 = l^2$): $h^2 + \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = a^2$

Упростим и решим уравнение относительно $h$: $h^2 + \frac{a^2 \cdot 2}{4} = a^2$

$h^2 + \frac{a^2}{2} = a^2$

$h^2 = a^2 - \frac{a^2}{2}$

$h^2 = \frac{a^2}{2}$

$h = \sqrt{\frac{a^2}{2}} = \frac{a}{\sqrt{2}}$

Теперь найдем искомое отношение высоты пирамиды $h$ к длине ее основания $a$: $\frac{h}{a} = \frac{a/\sqrt{2}}{a} = \frac{1}{\sqrt{2}}$

Это отношение можно также записать, избавившись от иррациональности в знаменателе: $\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}$.

Ответ: $\frac{1}{\sqrt{2}}$ (или $\frac{\sqrt{2}}{2}$).