Номер 1.135, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.135. Постройте сечение куба $ABCDA_1B_1C_1D_1$, плоскостью, проходящей через ребро $\text{AB}$ и образующей с основанием $ABCD$ угол, равный:

1) $30^\circ$;

2) $45^\circ$;

3) $60^\circ$.

Пусть ребро куба имеет длину $a$. Искомая плоскость сечения $\alpha$ проходит через ребро $AB$ и образует с плоскостью основания $ABCD$ (обозначим ее $\beta$) двугранный угол, равный заданному значению $\phi$. Линией пересечения плоскостей $\alpha$ и $\beta$ является прямая $AB$.

Величина двугранного угла измеряется его линейным углом. Для построения линейного угла выберем плоскость, перпендикулярную ребру двугранного угла (прямой $AB$). В качестве такой плоскости удобно взять грань куба $ADDA_1$, так как она перпендикулярна ребру $AB$.

Плоскость $ADDA_1$ пересекает плоскость основания $\beta$ по прямой $AD$. Плоскость $ADDA_1$ пересекает плоскость сечения $\alpha$ по некоторой прямой, проходящей через точку $A$. Обозначим эту прямую $l$. Тогда линейный угол двугранного угла между плоскостями $\alpha$ и $\beta$ равен углу между прямыми $l$ и $AD$. По условию, этот угол равен $\phi$.

Рассмотрим сечение куба плоскостью $ADDA_1$ — это квадрат $ADDA_1$. Прямая $l$ лежит в этой плоскости, проходит через вершину $A$ и образует с основанием $AD$ угол $\phi$. Дальнейшее построение зависит от величины угла $\phi$.

Если $0 < \phi \le 45^\circ$, то $\tan\phi \le 1$. Прямая $l$ пересечет боковое ребро $DD_1$ в некоторой точке $F$. В прямоугольном треугольнике $ADF$ (с прямым углом при $D$) катет $DF$ можно найти как $DF = AD \cdot \tan\phi = a \cdot \tan\phi$. Так как $DF \le a$, точка $F$ лежит на ребре $DD_1$. Плоскость сечения проходит через точки $A, B$ и $F$. Так как грани $ADDA_1$ и $BCC_1B_1$ параллельны, плоскость сечения пересечет ребро $CC_1$ в точке $E$ такой, что $CE = DF$. Искомым сечением будет трапеция $ABEF$.

Если $45^\circ < \phi < 90^\circ$, то $\tan\phi > 1$. В этом случае прямая $l$ пересечет верхнее ребро $A_1D_1$ в некоторой точке $H$. В прямоугольном треугольнике с вершинами $A, A_1$ и $H$ (с прямым углом при $A_1$) катет $A_1H$ можно найти как $A_1H = AA_1 / \tan\phi = a / \tan\phi$. Так как $A_1H < a$, точка $H$ лежит на ребре $A_1D_1$. Плоскость сечения проходит через точки $A, B$ и $H$. Она пересекает верхнюю грань $A_1B_1C_1D_1$ по прямой $HG$, параллельной $AB$, где точка $G$ лежит на ребре $B_1C_1$. По симметрии $B_1G = A_1H$. Искомым сечением будет трапеция $ABGH$.

Применим эти рассуждения для каждого из заданных углов.

1) Угол равен 30°. Так как $30^\circ \le 45^\circ$, реализуется первый случай. Сечением является трапеция $ABEF$, где точки $E$ и $F$ лежат на боковых ребрах $CC_1$ и $DD_1$ соответственно. Высота точек $E$ и $F$ над основанием равна $h = a \cdot \tan(30^\circ) = a \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Для построения сечения нужно на ребрах $DD_1$ и $CC_1$ отложить от основания отрезки $DF$ и $CE$ длиной $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Соединив точки $A, B, E, F$, получим искомое сечение — трапецию $ABEF$.

Ответ: Сечением является трапеция $ABEF$, где точка $F$ лежит на ребре $DD_1$, а точка $E$ — на ребре $CC_1$, причем $DF = CE = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — длина ребра куба.

2) Угол равен 45°. Это пограничный случай, где $\phi = 45^\circ$. Высота точек $E$ и $F$ над основанием равна $h = a \cdot \tan(45^\circ) = a \cdot 1 = a$.

Это означает, что точка $F$ совпадает с вершиной $D_1$ (так как $DF=DD_1=a$), а точка $E$ совпадает с вершиной $C_1$ (так как $CE=CC_1=a$).

Искомым сечением является четырехугольник $ABC_1D_1$. Так как ребро $AB$ перпендикулярно грани $BCC_1B_1$, оно перпендикулярно и прямой $BC_1$, лежащей в этой грани. Следовательно, угол $ABC_1$ прямой, и сечение $ABC_1D_1$ является прямоугольником.

Ответ: Сечением является прямоугольник $ABC_1D_1$.

3) Угол равен 60°. Так как $60^\circ > 45^\circ$, реализуется второй случай. Сечением является трапеция $ABGH$, где $H$ лежит на ребре $A_1D_1$, а $G$ — на ребре $B_1C_1$.

Положение точек $H$ и $G$ определяется расстоянием $d$ от вершин $A_1$ и $B_1$ соответственно. Это расстояние равно $d = \frac{a}{\tan\phi}$.

Для $\phi=60^\circ$ имеем $d = \frac{a}{\tan(60^\circ)} = \frac{a}{\sqrt{3}}$.

Для построения сечения нужно на ребрах верхнего основания $A_1D_1$ и $B_1C_1$ отложить от вершин $A_1$ и $B_1$ отрезки $A_1H$ и $B_1G$ длиной $\frac{a}{\sqrt{3}}$. Соединив точки $A, B, G, H$, получим искомое сечение — трапецию $ABGH$.

Ответ: Сечением является трапеция $ABGH$, где точка $H$ лежит на ребре $A_1D_1$, а точка $G$ — на ребре $B_1C_1$, причем $A_1H = B_1G = \frac{a}{\sqrt{3}}$, где $a$ — длина ребра куба.