Номер 1.141, страница 48 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.141. Дан многогранник, составленный из куба и пирамиды (рис. 1.65). Все ребра многогранника равны 3 см. Докажите, что площадь диагонального сечения равна $9(0.5 + \sqrt{2}) \text{ см}^2$.

Рис. 1.65

По условию задачи, многогранник составлен из куба и правильной четырехугольной пирамиды, причем все ребра многогранника равны 3 см. Это означает, что ребро куба $a = 3$ см, а также все ребра пирамиды (и основания, и боковые) равны 3 см.

Диагональное сечение, о котором идет речь, является плоской фигурой, проходящей через диагональ основания куба и вершину пирамиды. Эта фигура состоит из двух частей, расположенных в одной плоскости:

• Прямоугольника, являющегося диагональным сечением куба.
• Равнобедренного треугольника, являющегося диагональным сечением пирамиды, который расположен на верхней стороне прямоугольника.

1. Найдем площадь прямоугольного сечения куба. Пусть сечение проходит через диагональ нижнего основания $AC$. Вершины, лежащие над $A$ и $C$ на верхней грани куба, обозначим как $S$ и $O$ (согласно общей логике построения сечений, даже если обозначения на рисунке могут быть иными). Сечением куба будет являться прямоугольник $ACSO$. Одна сторона этого прямоугольника — это диагональ $AC$ квадрата в основании куба. По теореме Пифагора: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18} = 3\sqrt{2}$ см. Другая сторона прямоугольника — это высота куба, равная его ребру $AS = 3$ см. Площадь прямоугольника $ACSO$ равна: $S_{прямоуг} = AC \cdot AS = 3\sqrt{2} \cdot 3 = 9\sqrt{2}$ см².

2. Найдем площадь треугольного сечения пирамиды. Это сечение представляет собой треугольник $RSO$, где $R$ — вершина пирамиды. Основанием этого треугольника является диагональ $SO$ верхней грани куба. Длина основания $SO$ равна длине диагонали $AC$, так как верхняя и нижняя грани куба — равные квадраты. $SO = 3\sqrt{2}$ см. Боковыми сторонами треугольника являются боковые ребра пирамиды $RS$ и $RO$. По условию, их длины равны 3 см. Итак, мы имеем равнобедренный треугольник $RSO$ со сторонами $RS = 3$ см, $RO = 3$ см и основанием $SO = 3\sqrt{2}$ см. Проверим, выполняется ли для этого треугольника теорема Пифагора: $RS^2 + RO^2 = 3^2 + 3^2 = 9 + 9 = 18$. $SO^2 = (3\sqrt{2})^2 = 9 \cdot 2 = 18$. Поскольку $RS^2 + RO^2 = SO^2$, по обратной теореме Пифагора треугольник $RSO$ является прямоугольным, с прямым углом при вершине $R$. Следовательно, его площадь можно найти как половину произведения катетов $RS$ и $RO$: $S_{треуг} = \frac{1}{2} \cdot RS \cdot RO = \frac{1}{2} \cdot 3 \cdot 3 = \frac{9}{2} = 4,5$ см².

3. Найдем общую площадь диагонального сечения. Площадь всего сечения равна сумме площадей прямоугольника и треугольника: $S_{общ} = S_{прямоуг} + S_{треуг} = 9\sqrt{2} + 4,5$ см². Чтобы привести выражение к требуемому виду, вынесем 9 за скобки: $S_{общ} = 9\sqrt{2} + 9 \cdot 0,5 = 9(0,5 + \sqrt{2})$ см². Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Площадь диагонального сечения равна $9\sqrt{2} + 4,5 = 9(0,5 + \sqrt{2})$ см², что и требовалось доказать.