Номер 1.139, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.139. Основанием пирамиды является прямоугольник с ребрами, равными 6 см и 9 см. Высота пирамиды 8 см и ее основание совпадает с вершиной А. Докажите, что площадь сечения АНС равна $12\sqrt{13} \text{ см}^2$ (рис. 1.63).

Рис. 1.63

По условию, основанием пирамиды является прямоугольник $ABCD$ со сторонами $AB = 6$ см и $BC = 9$ см. Высота пирамиды $HA$ равна $8$ см, и ее основание совпадает с вершиной $A$. Это означает, что ребро $HA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$.

Рассмотрим сечение $AHC$, которое является треугольником. Так как ребро $HA$ перпендикулярно плоскости основания $(ABCD)$, оно перпендикулярно и любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Диагональ основания $AC$ удовлетворяет этим условиям, следовательно, $HA \perp AC$. Это значит, что треугольник $AHC$ является прямоугольным с прямым углом при вершине $A$ ($\angle HAC = 90^\circ$).

Площадь прямоугольного треугольника вычисляется как половина произведения его катетов. В данном случае катетами являются $HA$ и $AC$.

$S_{AHC} = \frac{1}{2} \cdot HA \cdot AC$.

Длину катета $HA$ мы знаем из условия: $HA = 8$ см. Длину катета $AC$ найдем из основания. $AC$ — это диагональ прямоугольника $ABCD$. Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$ (в прямоугольнике все углы прямые, $\angle B = 90^\circ$). По теореме Пифагора:

$AC^2 = AB^2 + BC^2$

$AC^2 = 6^2 + 9^2 = 36 + 81 = 117$

$AC = \sqrt{117} = \sqrt{9 \cdot 13} = 3\sqrt{13}$ см.

Теперь мы можем вычислить площадь сечения $AHC$, подставив найденные значения в формулу:

$S_{AHC} = \frac{1}{2} \cdot HA \cdot AC = \frac{1}{2} \cdot 8 \cdot 3\sqrt{13} = 4 \cdot 3\sqrt{13} = 12\sqrt{13}$ см$^2$.

Таким образом, мы доказали, что площадь сечения $AHC$ равна $12\sqrt{13}$ см$^2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано.