Номер 1.140, страница 47 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.140. Основаниями усеченной пирамиды являются квадраты с ребрами, равными 14 см и 9 см, а боковые ребра образуют с плоскостью основания угол, равный $60^{\circ}$. Докажите, что площадь диагонального сечения равна $\frac{115\sqrt{3}}{2}$ см² (рис. 1.64).

Рис. 1.64

Для доказательства утверждения найдем площадь диагонального сечения усеченной пирамиды. Диагональное сечение представляет собой равнобокую трапецию $ACC_1A_1$, основаниями которой являются диагонали квадратов, лежащих в основаниях пирамиды, а высотой — высота усеченной пирамиды.

1. Найдем длины оснований трапеции $ACC_1A_1$.

Нижнее основание пирамиды — это квадрат $ABCD$ со стороной $a = 14$ см. Его диагональ $AC$ вычисляется по формуле $d = a\sqrt{2}$:

$AC = 14\sqrt{2}$ см.

Верхнее основание пирамиды — это квадрат $A_1B_1C_1D_1$ со стороной $a_1 = 9$ см. Его диагональ $A_1C_1$ равна:

$A_1C_1 = 9\sqrt{2}$ см.

Итак, основания трапеции $ACC_1A_1$ равны $14\sqrt{2}$ см и $9\sqrt{2}$ см.

2. Найдем высоту $h$ усеченной пирамиды.

Пусть $O$ и $O_1$ — центры оснований пирамиды. Поскольку все боковые ребра образуют с плоскостью основания одинаковый угол, высота пирамиды $OO_1$ соединяет центры ее оснований. Высота трапеции $ACC_1A_1$ совпадает с высотой пирамиды $h = OO_1$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный боковым ребром $AA_1$, его проекцией на плоскость основания и высотой пирамиды. Проведем из точки $A_1$ перпендикуляр $A_1K$ на плоскость нижнего основания. Точка $K$ будет лежать на отрезке $AO$. Отрезок $AK$ является проекцией бокового ребра $AA_1$ на плоскость основания. Угол между боковым ребром и плоскостью основания — это $\angle A_1AK = 60°$.

Длина проекции $AK$ равна разности расстояний от оси $OO_1$ до точек $A$ и $A_1$ в плоскости сечения. Эти расстояния равны половинам диагоналей оснований:

$AO = \frac{AC}{2} = \frac{14\sqrt{2}}{2} = 7\sqrt{2}$ см.

$A_1O_1 = \frac{A_1C_1}{2} = \frac{9\sqrt{2}}{2}$ см.

В плоскости сечения $ACC_1A_1$ проекция $AK$ вычисляется как:

$AK = AO - A_1O_1 = 7\sqrt{2} - \frac{9\sqrt{2}}{2} = \frac{14\sqrt{2} - 9\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2}$ см.

Теперь из прямоугольного треугольника $\triangle A_1KA$ найдем высоту $h = A_1K$:

$h = A_1K = AK \cdot \tan(\angle A_1AK) = AK \cdot \tan(60^\circ) = \frac{5\sqrt{2}}{2} \cdot \sqrt{3} = \frac{5\sqrt{6}}{2}$ см.

3. Вычислим площадь трапеции $ACC_1A_1$.

Площадь трапеции вычисляется по формуле $S = \frac{d_1 + d_2}{2} \cdot h$, где $d_1$ и $d_2$ — основания, а $h$ — высота.

$S_{ACC_1A_1} = \frac{AC + A_1C_1}{2} \cdot h = \frac{14\sqrt{2} + 9\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{2} = \frac{23\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{5\sqrt{6}}{2} = \frac{115\sqrt{12}}{4}$

Упростим полученное выражение, зная, что $\sqrt{12} = \sqrt{4 \cdot 3} = 2\sqrt{3}$:

$S_{ACC_1A_1} = \frac{115 \cdot 2\sqrt{3}}{4} = \frac{115\sqrt{3}}{2}$ см².

Полученный результат совпадает со значением, данным в условии задачи. Таким образом, утверждение доказано.

Ответ: Площадь диагонального сечения равна $\frac{115\sqrt{3}}{2}$ см², что и требовалось доказать.