Номер 1.136, страница 46 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.136. Постройте сечение треугольной призмы $ABCA_1B_1C_1$ плоскостью, проходящей через ребро $\text{AB}$ и через:

1) вершину $C_1$;

2) середину ребра $CC_1$.

1) Дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Секущая плоскость по условию проходит через три точки, не лежащие на одной прямой: $A$, $B$ и $C_1$. Эти три точки однозначно определяют плоскость сечения. Для построения сечения необходимо найти линии его пересечения с гранями призмы.

Построение сечения:

1. Точки $A$ и $B$ принадлежат секущей плоскости. Так как они одновременно являются вершинами призмы, отрезок $AB$ (ребро призмы) является стороной сечения. Этот отрезок является линией пересечения секущей плоскости с гранью нижнего основания $ABC$ и боковой гранью $AA_1B_1B$.

2. Точки $A$ и $C_1$ принадлежат секущей плоскости. Обе эти точки лежат в плоскости боковой грани $AA_1C_1C$. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$ — это отрезок $AC_1$. Этот отрезок является второй стороной сечения.

3. Аналогично, точки $B$ и $C_1$ принадлежат секущей плоскости и лежат в плоскости боковой грани $BB_1C_1C$. Следовательно, линия пересечения секущей плоскости с гранью $BB_1C_1C$ — это отрезок $BC_1$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.

4. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $C_1$ и снова $A$, мы получаем замкнутую фигуру — треугольник $ABC_1$. Этот треугольник и является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $ABC_1$.

2) Дана треугольная призма $ABCA_1B_1C_1$. Обозначим середину ребра $CC_1$ как точку $M$. Секущая плоскость по условию проходит через три точки, не лежащие на одной прямой: $A$, $B$ и $M$. Эти три точки однозначно определяют плоскость сечения.

Построение сечения:

1. Точки $A$ и $B$ принадлежат секущей плоскости. Отрезок $AB$ (ребро призмы) является стороной сечения.

2. Точки $A$ и $M$ принадлежат секущей плоскости. Точка $A$ является вершиной грани $AA_1C_1C$, а точка $M$ лежит на ребре $CC_1$ этой же грани. Следовательно, обе точки $A$ и $M$ лежат в плоскости грани $AA_1C_1C$. Линия пересечения секущей плоскости с гранью $AA_1C_1C$ — это отрезок $AM$. Этот отрезок является второй стороной сечения.

3. Аналогично, точки $B$ и $M$ принадлежат секущей плоскости. Точка $B$ является вершиной грани $BB_1C_1C$, а точка $M$ лежит на ребре $CC_1$ этой же грани. Следовательно, обе точки $B$ и $M$ лежат в плоскости грани $BB_1C_1C$. Линия пересечения секущей плоскости с гранью $BB_1C_1C$ — это отрезок $BM$. Этот отрезок является третьей стороной сечения.

4. Соединив последовательно точки $A$, $B$, $M$ и снова $A$, мы получаем замкнутую фигуру — треугольник $ABM$. Этот треугольник и является искомым сечением призмы.

Ответ: Искомое сечение — это треугольник $ABM$, где $M$ — середина ребра $CC_1$.