Номер 1.127, страница 45 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.127. Из сделанных из плотной бумаги увеличенного масштаба разверток додекаэдра и икосаэдра (рис. 1.60) постройте соответствующий многогранник.

Рис. 1.60

Построение додекаэдра

Додекаэдр — это правильный многогранник, у которого 12 граней, и каждая грань — правильный пятиугольник. В каждой вершине этого многогранника сходятся 3 ребра. Внутренний угол правильного пятиугольника равен $108^\circ$. Таким образом, сумма плоских углов при каждой вершине додекаэдра составляет $3 \times 108^\circ = 324^\circ$, что является необходимым условием для существования выпуклого многогранного угла ($< 360^\circ$).

Для постройки модели из развертки (левое изображение на рис. 1.60) необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Подготовка. Перенесите чертеж развертки на плотную бумагу или картон. Чтобы модель было удобно склеивать, к некоторым сторонам пятиугольников, которые окажутся на внешнем контуре развертки, необходимо дорисовать небольшие клапаны для клея.

Шаг 2: Вырезание. Аккуратно вырежьте развертку по внешнему контуру вместе с клапанами.

Шаг 3: Сгибание. По всем внутренним линиям развертки (будущим ребрам додекаэдра) сделайте сгибы. Для аккуратности рекомендуется предварительно продавить эти линии с помощью линейки и неострого предмета (например, обратной стороны канцелярского ножа или пустой шариковой ручки).

Шаг 4: Сборка. Начните процесс склеивания. Наносите клей на клапаны и последовательно соединяйте грани. Сборку удобно начать с формирования центрального "пояса" из шести пятиугольников, замкнув его в кольцо. Затем к этому поясу приклейте верхнюю и нижнюю части ("крышки"), каждая из которых состоит из пятиугольника с примыкающими к нему гранями. При сборке важно контролировать, чтобы в каждой вершине сходилось ровно по три грани. Завершение склейки потребует аккуратности, возможно, понадобится пинцет для прижимания последних клапанов изнутри.

Ответ: В результате выполнения этих действий из развертки будет построен объёмный многогранник — додекаэдр.

Икосаэдр — это правильный многогранник, состоящий из 20 граней, каждая из которых является равносторонним треугольником. В каждой вершине икосаэдра сходятся 5 ребер. Внутренний угол равностороннего треугольника равен $60^\circ$. Следовательно, сумма плоских углов при каждой вершине икосаэдра равна $5 \times 60^\circ = 300^\circ$, что также меньше $360^\circ$.

Для постройки модели из развертки (правое изображение на рис. 1.60) необходимо выполнить следующие шаги:

Шаг 1: Подготовка. Перенесите развертку икосаэдра на плотную бумагу. Аналогично додекаэдру, дочертите клапаны для склейки к свободным сторонам треугольников по внешнему краю развертки.

Шаг 2: Вырезание. Вырежьте заготовку по внешнему контуру вместе с клапанами.

Шаг 3: Сгибание. Продавите и согните заготовку по всем внутренним линиям, которые станут ребрами икосаэдра.

Шаг 4: Сборка. Приступите к склеиванию. Для данной развертки удобно сначала сформировать две "пирамидки" (вершины икосаэдра), каждая из которых состоит из пяти треугольников, сходящихся в одной точке. Затем эти две "пирамидки", образующие верхнюю и нижнюю части икосаэдра, соединяются между собой средним "поясом" из десяти треугольников. Наносите клей на клапаны и аккуратно соединяйте грани, проверяя, что в каждой вершине сходится ровно пять треугольников.

Ответ: В результате выполнения этих действий из развертки будет построен объёмный многогранник — икосаэдр.