Номер 1.121, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.121. Сторона основания правильной четырехугольной пирамиды равна $\text{a}$, а двугранный угол между двумя смежными боковыми гранями равен $\phi$. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.

Пусть дана правильная четырехугольная пирамида SABCD, где S – вершина, а ABCD – квадратное основание со стороной a. Площадь боковой поверхности пирамиды S_бок равна сумме площадей четырех одинаковых боковых граней.

S_бок = 4 * S_грани

Боковая грань (например, SAB) – это равнобедренный треугольник. Его площадь можно найти через основание AB = a и апофему (высоту боковой грани) h_a, проведенную из вершины S к стороне AB.

$S_{грани} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_a = \frac{1}{2} a h_a$

Тогда площадь боковой поверхности равна:

$S_{бок} = 4 \cdot \frac{1}{2} a h_a = 2 a h_a$

Таким образом, задача сводится к нахождению апофемы h_a через известные a и φ.

Двугранный угол φ между смежными боковыми гранями (например, SAB и SBC) измеряется линейным углом, который образуется при пересечении этих граней плоскостью, перпендикулярной их общему ребру SB.

Проведем в гранях SAB и SBC высоты AH и CH к общему ребру SB. Тогда по определению AH ⊥ SB и CH ⊥ SB. Угол ∠AHC является линейным углом двугранного угла, то есть ∠AHC = φ.

Рассмотрим треугольник AHC. Так как пирамида правильная, боковые грани SAB и SBC равны. Следовательно, их высоты, проведенные к боковому ребру, также равны: AH = CH. Значит, треугольник AHC – равнобедренный. Основание этого треугольника, отрезок AC, является диагональю квадрата ABCD, поэтому его длина равна $AC = a\sqrt{2}$.

Применим к треугольнику AHC теорему косинусов:

$AC^2 = AH^2 + CH^2 - 2 \cdot AH \cdot CH \cdot \cos(φ)$

Подставим известные значения и учтем, что $AH = CH$:

$(a\sqrt{2})^2 = AH^2 + AH^2 - 2 \cdot AH \cdot AH \cdot \cos(φ)$

$2a^2 = 2AH^2 - 2AH^2 \cos(φ)$

$2a^2 = 2AH^2(1 - \cos(φ))$

$a^2 = AH^2(1 - \cos(φ))$

Отсюда выразим $AH^2$:

$AH^2 = \frac{a^2}{1 - \cos(φ)}$

Теперь свяжем AH и апофему h_a. Площадь грани SAB можно выразить двумя способами:

$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot h_a = \frac{1}{2} a h_a$

$S_{SAB} = \frac{1}{2} \cdot SB \cdot AH$

Приравнивая правые части, получаем:

$a h_a = SB \cdot AH$

Длину бокового ребра SB найдем из прямоугольного треугольника, образованного апофемой h_a, половиной стороны основания и боковым ребром. Пусть K – середина AB, тогда SK = h_a. В равнобедренном треугольнике SAB, SK является и медианой, и высотой, поэтому треугольник SBK – прямоугольный с катетами SK = h_a и $BK = \frac{a}{2}$. По теореме Пифагора:

$SB^2 = SK^2 + BK^2 = h_a^2 + (\frac{a}{2})^2 = h_a^2 + \frac{a^2}{4}$

Возведем в квадрат равенство $a h_a = SB \cdot AH$:

$a^2 h_a^2 = SB^2 \cdot AH^2$

Подставим выражения для $SB^2$ и $AH^2$:

$a^2 h_a^2 = (h_a^2 + \frac{a^2}{4}) \cdot \frac{a^2}{1 - \cos(φ)}$

Сократим на $a^2$ (так как $a \neq 0$):

$h_a^2 = \frac{h_a^2 + \frac{a^2}{4}}{1 - \cos(φ)}$

$h_a^2 (1 - \cos(φ)) = h_a^2 + \frac{a^2}{4}$

$h_a^2 - h_a^2 \cos(φ) = h_a^2 + \frac{a^2}{4}$

$-h_a^2 \cos(φ) = \frac{a^2}{4}$

$h_a^2 = -\frac{a^2}{4 \cos(φ)} = \frac{a^2}{-4 \cos(φ)}$

Для того чтобы выражение под корнем было положительным, $\cos(φ)$ должен быть отрицательным. Это соответствует геометрическому смыслу задачи, так как двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной пирамиды всегда тупой, т.е. $φ \in (\frac{π}{2}, π)$.

Извлекаем корень:

$h_a = \sqrt{\frac{a^2}{-4 \cos(φ)}} = \frac{a}{2\sqrt{-\cos(φ)}}$

Наконец, находим площадь боковой поверхности:

$S_{бок} = 2 a h_a = 2a \cdot \frac{a}{2\sqrt{-\cos(φ)}} = \frac{a^2}{\sqrt{-\cos(φ)}}$

Ответ: $S_{бок} = \frac{a^2}{\sqrt{-\cos(φ)}}$