Номер 1.118, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.118. Найдите сумму всех плоских углов $\text{n}$-угольной пирамиды.

Для нахождения суммы всех плоских углов n-угольной пирамиды необходимо сложить сумму углов ее основания и сумму углов всех ее боковых граней.

1. Сумма углов основания.

Основанием n-угольной пирамиды является n-угольник. Сумма внутренних углов любого простого n-угольника (где $n \ge 3$) вычисляется по формуле:

$S_{осн} = (n-2) \cdot 180^\circ$

2. Сумма углов боковых граней.

Пирамида имеет $n$ боковых граней, каждая из которых является треугольником. Сумма углов в одном треугольнике всегда равна $180^\circ$.

Следовательно, суммарная величина углов всех $n$ боковых граней равна:

$S_{бок} = n \cdot 180^\circ$

3. Общая сумма всех плоских углов.

Чтобы найти общую сумму, сложим сумму углов основания и сумму углов боковых граней:

$S_{общ} = S_{осн} + S_{бок}$

$S_{общ} = (n-2) \cdot 180^\circ + n \cdot 180^\circ$

Вынесем общий множитель $180^\circ$ за скобки:

$S_{общ} = ((n-2) + n) \cdot 180^\circ$

$S_{общ} = (2n-2) \cdot 180^\circ$

$S_{общ} = 2(n-1) \cdot 180^\circ$

$S_{общ} = 360^\circ(n-1)$

Эту же формулу можно выразить в радианах, зная, что $180^\circ = \pi$ радиан:

$S_{общ} = (2n-2)\pi = 2\pi(n-1)$

Ответ: $360^\circ(n-1)$ или $2\pi(n-1)$ радиан.