Номер 1.120, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.120. Площади оснований усеченной пирамиды равны $S_1$ и $S_2$. Найдите площадь многоугольника, образованного сечением плоскости, проходящей через середину высоты параллельно основаниям усеченной пирамиды.

Пусть $S_1$ и $S_2$ — площади оснований усеченной пирамиды. Обозначим искомую площадь сечения, проходящего через середину высоты, через $S$.

Все сечения пирамиды, параллельные основанию, являются подобными ему многоугольниками. Ключевым свойством является то, что линейные размеры таких сечений изменяются линейно с высотой. Это означает, что если сечение проходит ровно посередине высоты усеченной пирамиды, то его линейные размеры являются средним арифметическим соответствующих линейных размеров оснований.

Пусть $a_1$ и $a_2$ — соответственные линейные размеры (например, стороны или диагонали) многоугольников в основаниях. Пусть $a$ — соответствующий линейный размер многоугольника в среднем сечении. Тогда:

$a = \frac{a_1 + a_2}{2}$

Площади подобных фигур относятся как квадраты их соответственных линейных размеров. Это значит, что для некоторого коэффициента $k$ (одинакового для всех подобных сечений):

$S_1 = k a_1^2$, $S_2 = k a_2^2$, $S = k a^2$.

Из этих соотношений выразим линейные размеры через площади:

$a_1 = \sqrt{\frac{S_1}{k}}$, $a_2 = \sqrt{\frac{S_2}{k}}$, $a = \sqrt{\frac{S}{k}}$

Подставим эти выражения в формулу для среднего арифметического:

$\sqrt{\frac{S}{k}} = \frac{\sqrt{\frac{S_1}{k}} + \sqrt{\frac{S_2}{k}}}{2}$

Упростим выражение, сократив на $\frac{1}{\sqrt{k}}$:

$\sqrt{S} = \frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}$

Чтобы найти площадь $S$, возведем обе части равенства в квадрат:

$S = \left(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}\right)^2$

Данная формула выражает площадь сечения через известные площади оснований.

Ответ: $\left(\frac{\sqrt{S_1} + \sqrt{S_2}}{2}\right)^2$