Номер 1.114, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.114. Основанием пирамиды является равнобокая трапеция. Высота трапеции равна 5 см, а ее основания — 6 см и $4\sqrt{6}$ см. Боковые ребра пирамиды имеют длину 13 см и равны между собой. Найдите высоту пирамиды.

Поскольку все боковые ребра пирамиды равны ($L = 13$ см), ее вершина проецируется в центр окружности, описанной около основания. Высота пирамиды $H$, боковое ребро $L$ и радиус $R$ описанной окружности связаны соотношением $H^2 + R^2 = L^2$, которое следует из теоремы Пифагора. Для нахождения высоты пирамиды $H$ необходимо сначала вычислить радиус $R$ описанной окружности основания.

Основанием является равнобокая трапеция с основаниями $a = 4\sqrt{6}$ см и $b = 6$ см и высотой $h_{тр} = 5$ см. Радиус окружности, описанной около трапеции, совпадает с радиусом окружности, описанной около треугольника, образованного диагональю, боковой стороной и большим основанием трапеции. Обозначим трапецию $ABCD$, где $AD$ — большее основание ($AD = 4\sqrt{6}$ см).

Сначала найдем длины диагонали $d=AC$ и боковой стороны $c=CD$ трапеции. Проведем из вершины $C$ высоту $CK$ на основание $AD$. В прямоугольном треугольнике $ACK$ катет $AK$ равен полусумме оснований: $AK = \frac{AD + BC}{2} = \frac{4\sqrt{6} + 6}{2} = 2\sqrt{6} + 3$ см. По теореме Пифагора находим квадрат диагонали: $d^2 = AC^2 = AK^2 + CK^2 = (2\sqrt{6} + 3)^2 + 5^2 = (24 + 12\sqrt{6} + 9) + 25 = 58 + 12\sqrt{6}$. В прямоугольном треугольнике $CKD$ катет $KD$ равен полуразности оснований: $KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{4\sqrt{6} - 6}{2} = 2\sqrt{6} - 3$ см. По теореме Пифагора находим квадрат боковой стороны: $c^2 = CD^2 = CK^2 + KD^2 = 5^2 + (2\sqrt{6} - 3)^2 = 25 + (24 - 12\sqrt{6} + 9) = 58 - 12\sqrt{6}$.

Радиус $R$ описанной около треугольника $ACD$ окружности вычисляется по формуле $R = \frac{\text{произведение сторон}}{4 \cdot \text{Площадь}}$. Площадь треугольника $ACD$ равна $S_{\triangle ACD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot h_{тр} = \frac{1}{2} \cdot 4\sqrt{6} \cdot 5 = 10\sqrt{6}$ см$^2$. Найдем произведение длин диагонали и боковой стороны $d \cdot c$: $d \cdot c = \sqrt{58 + 12\sqrt{6}} \cdot \sqrt{58 - 12\sqrt{6}} = \sqrt{(58 + 12\sqrt{6})(58 - 12\sqrt{6})} = \sqrt{58^2 - (12\sqrt{6})^2} = \sqrt{3364 - 144 \cdot 6} = \sqrt{3364 - 864} = \sqrt{2500} = 50$. Теперь подставляем все известные значения в формулу для радиуса, где стороны треугольника $ACD$ это $AD$, $AC=d$ и $CD=c$: $R = \frac{AD \cdot AC \cdot CD}{4 \cdot S_{\triangle ACD}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot (d \cdot c)}{4 \cdot 10\sqrt{6}} = \frac{4\sqrt{6} \cdot 50}{40\sqrt{6}} = \frac{200\sqrt{6}}{40\sqrt{6}} = 5$ см.

Зная радиус описанной окружности $R=5$ см и длину бокового ребра $L=13$ см, находим высоту пирамиды $H$: $H = \sqrt{L^2 - R^2} = \sqrt{13^2 - 5^2} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12$ см.

Ответ: 12 см.