Номер 1.112, страница 40 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.112. Периметры оснований усеченной пирамиды относятся как 13:17, а периметр многоугольника, образованного сечением усеченной пирамиды плоскостью, проходящей через середину высоты параллельно основаниям, равен 45 см. Найдите периметры оснований усеченной пирамиды. Сколько сторон может иметь основание этой усеченной пирамиды?

Найдите периметры оснований усеченной пирамиды.

Пусть $P_1$ и $P_2$ — периметры меньшего и большего оснований усеченной пирамиды соответственно. Пусть $P_m$ — периметр многоугольника, образованного сечением, проходящим через середину высоты пирамиды параллельно основаниям.

По условию задачи, периметры оснований относятся как 13:17:

$\frac{P_1}{P_2} = \frac{13}{17}$

Периметр сечения равен 45 см:

$P_m = 45 \text{ см}$

Для усеченной пирамиды периметр сечения, параллельного основаниям и проходящего через середину ее высоты, является средним арифметическим периметров оснований. Это свойство следует из того, что периметр сечения, параллельного основаниям, является линейной функцией расстояния от одного из оснований. Таким образом:

$P_m = \frac{P_1 + P_2}{2}$

Подставим известное значение $P_m$ в эту формулу:

$45 = \frac{P_1 + P_2}{2}$

Из этого уравнения следует, что сумма периметров оснований равна:

$P_1 + P_2 = 2 \cdot 45 = 90 \text{ см}$

Теперь мы имеем систему из двух уравнений с двумя неизвестными:

$\begin{cases} P_1 + P_2 = 90 \\ \frac{P_1}{P_2} = \frac{13}{17} \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $P_1$:

$P_1 = \frac{13}{17} P_2$

Подставим это выражение в первое уравнение системы:

$\frac{13}{17} P_2 + P_2 = 90$

$P_2 \left(\frac{13}{17} + 1\right) = 90$

$P_2 \left(\frac{13 + 17}{17}\right) = 90$

$P_2 \left(\frac{30}{17}\right) = 90$

Найдем $P_2$:

$P_2 = 90 \cdot \frac{17}{30} = 3 \cdot 17 = 51 \text{ см}$

Теперь найдем $P_1$, используя сумму периметров:

$P_1 = 90 - P_2 = 90 - 51 = 39 \text{ см}$

Проверим найденные значения: отношение периметров $\frac{39}{51} = \frac{3 \cdot 13}{3 \cdot 17} = \frac{13}{17}$, что соответствует условию задачи.

Ответ: Периметры оснований усеченной пирамиды равны 39 см и 51 см.

Сколько сторон может иметь основание этой усеченной пирамиды?

Пусть $n$ — количество сторон многоугольника в основании пирамиды. По определению, многоугольник должен иметь не менее трех сторон, то есть $n \ge 3$.

В общем случае, когда длины сторон могут быть любыми действительными числами, основание пирамиды может быть $n$-угольником для любого целого $n \ge 3$.

Однако, числовые данные в задаче (отношение 13:17, целочисленные периметры) наводят на мысль о возможном дополнительном условии, например, что длины сторон оснований являются целыми числами. Рассмотрим этот случай, так как он приводит к единственному ответу.

Пусть основания — это два подобных $n$-угольника. Обозначим длины сторон меньшего основания как $a_{1,1}, a_{1,2}, \dots, a_{1,n}$, а большего — $a_{2,1}, a_{2,2}, \dots, a_{2,n}$. Предположим, что все эти длины — целые числа.

Отношение длин соответствующих сторон подобных многоугольников равно отношению их периметров:

$\frac{a_{1,i}}{a_{2,i}} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{39}{51} = \frac{13}{17}$

Отсюда следует равенство $17 \cdot a_{1,i} = 13 \cdot a_{2,i}$ для каждой пары соответствующих сторон.

Поскольку 13 и 17 — взаимно простые числа, из данного равенства и предположения о целочисленности сторон следует, что $a_{1,i}$ должно быть кратно 13, а $a_{2,i}$ — кратно 17. Таким образом, можно записать:

$a_{1,i} = 13k_i$ и $a_{2,i} = 17k_i$

где $k_i$ — некоторые положительные целые числа (так как длины сторон должны быть положительными, $a_{1,i} > 0$ и $a_{2,i} > 0$).

Теперь запишем выражение для периметра меньшего основания:

$P_1 = \sum_{i=1}^{n} a_{1,i} = \sum_{i=1}^{n} 13k_i = 13 \sum_{i=1}^{n} k_i$

Мы знаем, что $P_1 = 39$ см, поэтому:

$13 \sum_{i=1}^{n} k_i = 39 \implies \sum_{i=1}^{n} k_i = 3$

Итак, нам нужно найти число сторон $n$, зная, что сумма $n$ положительных целых чисел $k_i$ равна 3.

Поскольку каждое $k_i$ является целым и $k_i \ge 1$, их сумма $\sum_{i=1}^{n} k_i$ должна быть не меньше, чем количество слагаемых $n$. Следовательно, $3 \ge n$.

Таким образом, мы имеем два условия для числа сторон $n$:

1. $n \ge 3$ (по определению многоугольника).

2. $n \le 3$ (из нашего вывода).

Единственное целое число, удовлетворяющее обоим неравенствам, — это $n=3$.

Этот случай реализуем, если $k_1=k_2=k_3=1$. Тогда меньшее основание — равносторонний треугольник со стороной $13 \cdot 1 = 13$ см, а большее — равносторонний треугольник со стороной $17 \cdot 1 = 17$ см.

Ответ: Основание этой усеченной пирамиды может иметь 3 стороны.