Номер 1.110, страница 39 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.110. Стороны основания правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны 3 см и 5 см, а высота – 2 см. Найдите диагональ усеченной пирамиды.

Пусть стороны оснований правильной четырехугольной усеченной пирамиды равны $a_1 = 5$ см (большее основание) и $a_2 = 3$ см (меньшее основание), а высота $h = 2$ см. Так как пирамида правильная, ее основаниями являются квадраты, расположенные так, что их центры лежат на одной прямой, перпендикулярной плоскостям оснований.

Для нахождения диагонали усеченной пирамиды $D$ воспользуемся методом координат или, что нагляднее, рассмотрим прямоугольный треугольник в пространстве. Гипотенузой этого треугольника будет искомая диагональ $D$, одним катетом — высота пирамиды $h$, а другим катетом — проекция диагонали на плоскость большего основания. Обозначим эту проекцию $p$.

1. Найдем длины диагоналей квадратных оснований.

Диагональ большего основания: $d_1 = a_1\sqrt{2} = 5\sqrt{2}$ см.

Диагональ меньшего основания: $d_2 = a_2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}$ см.

2. Найдем длину проекции $p$. Эта проекция лежит на диагонали большего основания. Она соединяет вершину большего основания с проекцией соответствующей вершины меньшего основания. Из-за центрального расположения оснований длина этой проекции будет равна сумме половины диагонали большего основания и половины диагонали меньшего основания.

$p = \frac{d_1}{2} + \frac{d_2}{2} = \frac{5\sqrt{2}}{2} + \frac{3\sqrt{2}}{2} = \frac{5\sqrt{2} + 3\sqrt{2}}{2} = \frac{8\sqrt{2}}{2} = 4\sqrt{2}$ см.

3. Теперь, зная два катета ($h=2$ см и $p=4\sqrt{2}$ см), по теореме Пифагора найдем гипотенузу — диагональ усеченной пирамиды $D$:

$D^2 = h^2 + p^2$

$D^2 = 2^2 + (4\sqrt{2})^2 = 4 + 16 \cdot 2 = 4 + 32 = 36$

$D = \sqrt{36} = 6$ см.

Ответ: 6 см.