Номер 1.122, страница 41 - гдз по геометрии 11 класс учебник Шыныбеков, Шыныбеков

1.122. Основанием пирамиды является ромб с острым углом $60^\circ$. Сторона ромба и высота пирамиды равны $\text{a}$. Основание высоты пирамиды совпадает с вершиной острого угла ромба. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды (рис. 1.55).

Рис. 1.55

По условию задачи, в основании пирамиды $EABCD$ лежит ромб $ABCD$ со стороной $a$ и острым углом $∠DAB = 60°$. Высота пирамиды $EA$ равна стороне ромба $a$, и ее основание совпадает с вершиной $A$ ромба.

Площадь боковой поверхности пирамиды $S_{бок}$ равна сумме площадей ее боковых граней:

$S_{бок} = S_{ΔEAB} + S_{ΔEAD} + S_{ΔEBC} + S_{ΔEDC}$

Рассмотрим каждую грань отдельно.

1. Грани $EAB$ и $EAD$.

Так как $EA$ – высота пирамиды, то она перпендикулярна плоскости основания $ABCD$. Следовательно, $EA$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в этой плоскости и проходящей через точку $A$. Таким образом, $EA ⊥ AB$ и $EA ⊥ AD$.

Это означает, что треугольники $ΔEAB$ и $ΔEAD$ являются прямоугольными с прямыми углами при вершине $A$.

В $ΔEAB$: катеты $EA = a$ и $AB = a$.

В $ΔEAD$: катеты $EA = a$ и $AD = a$.

Площади этих треугольников равны:

$S_{ΔEAB} = S_{ΔEAD} = \frac{1}{2} ⋅ EA ⋅ AB = \frac{1}{2} ⋅ a ⋅ a = \frac{a^2}{2}$

2. Грани $EBC$ и $EDC$.

Стороны $BC$ и $DC$ ромба равны $a$. Найдем площади треугольников $ΔEBC$ и $ΔEDC$.

Покажем, что $ΔEBC$ и $ΔEDC$ равны. У них общая сторона $EC$. Найдем стороны $EB$ и $ED$. Из прямоугольных треугольников $ΔEAB$ и $ΔEAD$ по теореме Пифагора:

$EB^2 = EA^2 + AB^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies EB = a√2$

$ED^2 = EA^2 + AD^2 = a^2 + a^2 = 2a^2 \implies ED = a√2$

Так как $BC = DC = a$, $EB = ED = a√2$ и сторона $EC$ общая, то $ΔEBC ≅ ΔEDC$ по трем сторонам. Следовательно, их площади равны: $S_{ΔEBC} = S_{ΔEDC}$.

Найдем площадь $ΔEBC$. Для этого найдем высоту этого треугольника, проведенную из вершины $E$ к стороне $BC$. Обозначим эту высоту $h_{E \to BC}$.

Воспользуемся теоремой о трех перпендикулярах. Проведем из точки $A$ в плоскости основания высоту $AH$ к прямой $BC$. Так как $EA$ - перпендикуляр к плоскости $ABCD$, а $EH$ - наклонная (где $H$ - точка на прямой $BC$), то по теореме о трех перпендикулярах, если $AH ⊥ BC$, то и $EH ⊥ BC$. Таким образом, $EH$ является высотой $h_{E \to BC}$ треугольника $ΔEBC$.

Найдем длину $AH$. Площадь ромба $ABCD$ равна $S_{ромб} = a^2 \sin(60°) = \frac{a^2√3}{2}$. Диагональ $AC$ делит ромб на два равных треугольника $ΔABC$ и $ΔADC$. Площадь $ΔABC$ равна половине площади ромба: $S_{ΔABC} = \frac{1}{2} S_{ромб} = \frac{a^2√3}{4}$. С другой стороны, $S_{ΔABC} = \frac{1}{2} ⋅ BC ⋅ AH = \frac{1}{2} ⋅ a ⋅ AH$.

Приравняем выражения для площади $ΔABC$: $\frac{1}{2} a ⋅ AH = \frac{a^2√3}{4} \implies AH = \frac{a√3}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $ΔEAH$ (он прямоугольный, так как $EA ⊥ AH$). По теореме Пифагора найдем гипотенузу $EH$:

$EH^2 = EA^2 + AH^2 = a^2 + (\frac{a√3}{2})^2 = a^2 + \frac{3a^2}{4} = \frac{4a^2 + 3a^2}{4} = \frac{7a^2}{4}$

$EH = \sqrt{\frac{7a^2}{4}} = \frac{a√7}{2}$

Теперь можем найти площадь $ΔEBC$:

$S_{ΔEBC} = \frac{1}{2} ⋅ BC ⋅ EH = \frac{1}{2} ⋅ a ⋅ \frac{a√7}{2} = \frac{a^2√7}{4}$

Так как $S_{ΔEDC} = S_{ΔEBC}$, то $S_{ΔEDC} = \frac{a^2√7}{4}$.

3. Площадь боковой поверхности.

Сложим площади всех боковых граней:

$S_{бок} = S_{ΔEAB} + S_{ΔEAD} + S_{ΔEBC} + S_{ΔEDC} = \frac{a^2}{2} + \frac{a^2}{2} + \frac{a^2√7}{4} + \frac{a^2√7}{4}$

$S_{бок} = a^2 + 2 ⋅ \frac{a^2√7}{4} = a^2 + \frac{a^2√7}{2}$

Вынесем общий множитель за скобки для получения окончательного вида:

$S_{бок} = a^2 (1 + \frac{√7}{2}) = \frac{a^2}{2} (2 + √7)$

Ответ: $\frac{a^2(2+√7)}{2}$